Электронный образовательный ресурс по теме
"Интегральные Исчисления"

СОДЕРЖАНИЕ


Глава I


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

$ 2. Таблица интегралов

$ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла

$ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки

$ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

$ 6. Интегрирование по частям

$ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

$ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие

$ 9. Интегрирование рациональных дробей

$ 10. Интегралы от иррациональных функций

$ 11. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций



Глава II


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы

$ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла

$ 3. Основные свойства определенного интеграла

$ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница

$ 5. Замена переменной в определенном интеграле

$ 6. Интегрирование по частям

$ 7. Несобственные интегралы

$ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов

$ 9. Формула Чебышева

$ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция

$ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной

$ 12. Геометрические и механические приложения определенного интеграла



Глава III


КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПЕРВОГО РОДА ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Определение двойного интеграла

$ 2. Замена переменных в двойном интеграле

$ 3. Приложения двойного интеграла.

$ 4. Тройной интеграл.

Глава IV


КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ВТОРОГО РОДА ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Определение криволинейного интеграла второго рода

$ 2. Интеграл по замкнутому контуру

$ 3. Условия независимости интеграла от пути интегрирования.

Глава V


ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

$ 2. Формула Стокса.

$ 3. Формула Остроградского.

Глава I


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


$ 5. Интегрирование от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен


1. Рассмотрим интеграл

Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов:
где обозначено . Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена комплексными или действительными.

   Таким образом, интеграл I1 принимает вид


Сделаем в последнем интеграле замену переменной
Тогда получим

   Это-табличные интегралы (см. формулы 11' и 12).


П р и м е р 1. Вычислить интеграл

Р е ш е н и е.

Делаем замену переменной x+2=t, dx=dt. Подставляя в интеграл, получаем табличный интеграл

Подставляя вместо t его выражение через x, окончательно находим

2. Рассмотрим интеграл более общего вида м

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим


Второй интеграл есть интеграл I1, вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменной

Следовательно,

Таким образом, окончательно получаем

П р и м е р 2. Вычислить интеграл

Применим указанный прием:

3. Рассмотрим интеграл

C помощью преобразований, рассмотренных в п.1, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида

Которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы 13' и 14).

4. Интеграл вида


вычисляется с помощью следующих преобразования, аналогичных тем, которые были рассмотрены в п. 2:

Применив к первому из полученных интегралов подстановку

Второй же интеграл был рассмотрен нами в п.3 настоящего параграфа.