Электронный образовательный ресурс по теме
"Интегральные Исчисления"
"Интегральные Исчисления"
СОДЕРЖАНИЕ
Глава I
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
$ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
$ 2. Таблица интегралов
$ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла
$ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки
$ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
$ 6. Интегрирование по частям
$ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
$ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие
$ 9. Интегрирование рациональных дробей
$ 10. Интегралы от иррациональных функций
$ 11. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
$ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы
$ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного
интеграла
$ 3. Основные свойства определенного интеграла
$ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница
$ 5. Замена переменной в определенном интеграле
$ 6. Интегрирование по частям
$ 7. Несобственные интегралы
$ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов
$ 9. Формула Чебышева
$ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция
$ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной
$ 12. Геометрические и механические приложения определенного интеграла
$ 1. Определение двойного интеграла
$ 2. Замена переменных в двойном интеграле
$ 3. Приложения двойного интеграла.
$ 4. Тройной интеграл.
$ 1. Определение криволинейного интеграла второго рода
$ 2. Интеграл по замкнутому контуру
$ 3. Условия независимости интеграла от пути интегрирования.
$ 1. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
$ 2. Формула Стокса.
$ 3. Формула Остроградского.
Глава II
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
$ 6. Интегрирование по частям
Пусть u и v - дифференцируемые функции от х. Тогда
Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b, получим
Так как 
поэтому равенство (1) может быть записано в виде
или окончательно
П р и м е р. Вычислить интеграл
Из этих формул следует формула Валлиса, выражающая число п/2 в виде
бесконечного произведения.
Действительно из последних двух равенств путем почленного деления
находим
Докажем теперь, что
Для всех х из интервала (0, П/2) справедливы неравенства
Интегрируя в пределах от 0 до П/2, получим
откуда
Из равенства (2) следует
Поэтому
Из неравенства (4) получаем
Переходя к пределу в формуле (3), получим формулу Валлиса
Эту формулу можно записать в следующем виде:
