Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава II

Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 9. Интегрирование рациональных дробей

       Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби
       Если данная дробь н е п р а в и л ь н а я, то мы представляем ее в виде суммы многочлена М(х) и  п р а в и л ь н о й рациональной дробиПоследнюю же представляем по формуле(5) § 8 в виде суммы п р о с т е й ш и х дробей. Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких п р о с т е й ш и х дробей.
       Из результатов § 8 следует, что вид простейших дробей определяется корнями знаменателя f(x). Здесь возможны следующие случаи.
       1 с л у ч а й. Корни знаменателя действительны и различны, т.е

       В этом случае дробьразлагается на простейшие дроби 1 типа:

и тогда
       2 с л у ч а й. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные

       В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1 и 2 типов.

       3 с л у ч а й. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся(т.е. различные):

       В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1, 2 и 3 типов.

       4 с л у ч а й. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

       В этом случае разложение дробибудет содержать и простейшие дроби 4 типа.


       Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выравнен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
1) через логарифмы —в случае простейших дробей I типа;
2) через рациональные функции — в случае простейших дробей II типа;
3) через логарифмы и арктангенсы —в случае простейших дробей III типа;
4) через рациональные функции и арктангенсы—в случае простейших дробей IV типа.