Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава II

Глава II

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 3. Основные свойства определенного интеграла

       С в о й с т в о 1. Постоянный множитель можно не выносить за знак определенного интеграла: если А = const, то

        Д о к а з а т е л ь с т в о.

       С в о й с т в о 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых

        Д о к а з а т е л ь с т в о.

Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых.
       Свойство 1 и 2, хотя и доказаны только для случая a < b, остаются в силе и при
Однако следующее свойство справедливо при a < b:
       С в о й с т в о 3. Если на отрезке [a,b], где a < b, функции f(x) и ф(х) удовлетворяют условию

        Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность

Здесь каждая разность Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, неотрицательна вся сумма и неотрицателен ее предел, т.е. или откуда следует неравенство (3).        Если f(x)>0 и ф(х)>0, то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 217). Так как то площадь криволинейной трапеции aA₁B₁b не больше площади криволинейной трипеции aA₂B₂b.
       С в о й с т в о 4.Если m и М - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и а < b, то

        Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

На основании свойства (3) имеем

Но

(см пример 3 § 2). Подставляя эти выражения в неравенство (4'), получим неравенство (4).

       Если то это свойство легко иллюстрируется геометрически(рис. 218): площадь криволинейной трапеции aA₁B₁b и aA₂B₂b.
       С в о й с т в о 5 (теорема о среднем).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо следующее равенство:

        Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности a < b. Если m и M суть соответственно наименьшее и наибольшее значения f(x) на отрезке [a,b], то в силу формулы (4)
Отсюда
       Так как f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и M. Следовательно, при некотором значении , т.е.