Электронный образовательный ресурс по теме
"Интегральные Исчисления"

СОДЕРЖАНИЕ


Глава I


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 1. Первообразная и неопределенный интеграл

$ 2. Таблица интегралов

$ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла

$ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки

$ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

$ 6. Интегрирование по частям

$ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

$ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие

$ 9. Интегрирование рациональных дробей

$ 10. Интегралы от иррациональных функций

$ 11. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций



Глава II


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы

$ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла

$ 3. Основные свойства определенного интеграла

$ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница

$ 5. Замена переменной в определенном интеграле

$ 6. Интегрирование по частям

$ 7. Несобственные интегралы

$ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов

$ 9. Формула Чебышева

$ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция

$ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной

$ 12. Геометрические и механические приложения определенного интеграла



Глава III


КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПЕРВОГО РОДА ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Определение двойного интеграла

$ 2. Замена переменных в двойном интеграле

$ 3. Приложения двойного интеграла.

$ 4. Тройной интеграл.

Глава IV


КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ВТОРОГО РОДА ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Определение криволинейного интеграла второго рода

$ 2. Интеграл по замкнутому контуру

$ 3. Условия независимости интеграла от пути интегрирования.

Глава V


ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

$ 1. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

$ 2. Формула Стокса.

$ 3. Формула Остроградского.

Глава I


НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


$ 10. Интегралы от иррациональных функция


       Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. В этом и следующем параграфах мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и, следовательно, до конца интегрируются.
       1. РАссмотрим интеграл где R-рациональная функция своих аргументов*).
       Пусть k-общий знаменатель дробей m/n, ..., r/s. Сделаем подстановку x=tk, dx=ktk-1dt
       Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

       2. Рассмотрим теперь интеграл вида
       Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки

где k-общий знаменатель дробей m/n,...,r/s