Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава II

Глава II

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 5. Замена переменной в определенном интеграле

       Т е о р е м а.Пусть дан интеграл

где функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b].
       Введем новую переменную t по формуле

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Если F(x) есть нервообразная для функции f(x), то можем написать следующие равенства:

Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по t. Из равенства (2) получаем

Из равенства (3) получаем
Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.
       З а м е ч а н и е. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной. Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл.



Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет площадь 1/4 круга, ограниченного окружностью