Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава II

Глава II

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов

       В конце главы X указывалось, что не для всякой непрерыв- ной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона — Лейбница затруднительно, и применяются различные методы приближенного вычисления определенных интегралов. Сейчас мы изложим несколько способов приближенного интегрирования, исходя из понятия определенного интеграла как предела суммы.
I. Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная функция y = f(x). Требуется вычислить определенный интеграл

Разделим отрезок [а, b] точками a=x0,x1,x2,...,x_n=b на n равных частей длины
Обозначим далее через y0,y1,y2,...,y_n-1,y_n значения функции f(x) в точках x0,x1,x2,...,x_n, т.е. y0=f(x0),y1=f(x1),...,y_n=f(x_n)

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f (х) на отрезке [а, b] и поэтому приближенно выражает интеграл:

Это и будут формулы прямоугольников. Из рис. 227 ясно, что если f (х) — положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула (1') — площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (т. е. чем меньше шаг деления ).
II. Формула трапеций. Естественно ожидать, что мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую y = f(x) заменим не ступенчатой линией, как это было в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 228), Тогда площадь криволинейной трапеции аАВb заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами Так как площадь первой из этих трапеций равнаплощадь второй равна и т.д., то

Это и есть формула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы B), есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (1').
Число n выбирается произвольно. Чем больше будет это число и чем меньше, следовательно, будет шаг тем с большей точностью сумма, написанная в правой части приближенного равенства (2), будет давать значение интеграла.

III. Формула парабол (формула Симпсона). Разделим отрезок [а, b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1, x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки и имеющей ось, параллельную оси Оy (рис. 229). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид

Коэффициенты A, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
       Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой

осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна

где у0 и у2 — крайние ординаты, а у1 — ордината кривой в середине отрезка.
       Доказательство. Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. 230.

Коэффициенты в уравнении параболы определяются из следующих уравнений:

Считая коэффициенты А, В, С известными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла:

Но из равенств (4) следует, что Следовательно, что и требовалось доказать.
Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис. 229). Пользуясь формулой (3), мы можем написать следующие приближенные равенства

Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение:

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в пра- вой части равенства (5) дает значение интеграла *).

       Пример. Вычислить приближенно
       Решение. Разделим отрезок [1,2] на 10 равных частей (рис. 231). Полагая составим таблицу значений подынтегральной функции:

I. По первой формуле прямоугольников (1) получим

По второй формуле прямоугольников (1') получим

Непосредственно из рис. 231 следует, что в данном случае первая фор- мула дает значение интеграла с избытком, вторая — с недостатком.
II. По формуле трапеций (2) получим

III. По формуле Симпсонв (5) имеем

В действительности (с точностью до седьмого знака)
Таким образом, при разбиении отрезка [0, 1] на 10 частей по формуле Симпсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций—лишь три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.