Глава I

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Глава II

Глава II

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

$ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция

       Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Пусть дан интеграл

в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра а. Если параметр а будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла. Таким образом, определенный интеграл есть функция от а; поэтому мы его можем обозначить через I (а).
       1. Предположим, что непрерывные функции при

Найдем производную интеграла по параметру a:

Для нахождения этой производной заметим, что

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь Так как непрерывна а замкнутой области (2), то где величина зависящая от стремится у нулю при Таким образом,

Переходя к пределу при получаем *)

или

Последняя формула называется формулой Лейбница.
        2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы интегрирования a и b являются функциями от а:

есть сложная функция от a, причем а и b являются промежуточными аргументами. Для того чтобы найти производную от I (а), применим правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных

На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу (см. § 4) получаем

Наконец, для вычисления применяем формулу Лейбница:

Подставляя в формулу (3) полученные выражения производных, будем иметь:

С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые определенные интегралы.