Лекция 5. Основные понятия многозначной логики

Обычная Аристотелева логика называется двузначной, потому что ее высказывания, имеют два значения, то есть они могут быть либо истинными, либо ложными (см. также математическая логика).  Однако в реальности далеко не всегда можно определить точно истинность или ложность высказывания, и бывают переходные случаи. Например, есть высказывания неопределенные с точки зрения их истинности или ложности. Возьмем,  например, процесс выпадения дождя. Этот процесс продолжается некоторое время, а затем

прекращается. Но предположим, что это происходит не внезапно, а постепенно. Пусть

р .............р

иллюстрирует, что на определенном отрезке времени вначале определенно идет дождь (p), потом определенно не идет дождь (р), а между этими временными точками находится переходная область, когда может капать небольшое количество капель — слишком мало для того, чтобы заставить нас сказать, что идет дождь, но слишком много для того, чтобы мы могли воздержаться от утверждения, что дождь определенно закончился. В этой области высказывание р ни истинно, ни ложно». Таким образом, появляется еще третье значение высказывания: «ни истинно, ни ложно»; или «и истинно, и ложно»; или «неопределенно». Когда соответствующие явления стали обнаруживаться в математике и физике — например в квантовой механике при описании микромира, частица может производить одновременно воздействия на места, в которых она сама не находится, или как в трансперсональвой психологии , когда сознание настолько расширяется, что может одновременно находиться в разных местах, — то назревает необходимость в адекватном описании таких аномальных, с точки зрения двузначной логики, явлений. Здесь-то и помогает аппарат многозначной, например трехзначной, логики, которая наряду с обычными значениями «истинно» и «ложно» оперирует значением «неопределенно», или «неизвестно», или «не наблюдаемо».

Мы знаем, что в основе логического исчисления лежат несколько самоочевидных истин, аксиом, которые мы называем законами логики. В обычной двухзначной логике таких законов четыре:

·        закон тождества (любое высказывание с необходимостью равно самому себе);

·        закон двойного отрицания (двойное отрицание высказывания равно утверждению этого высказывания);

·        закон исключенного третьего (высказывания может быть либо истинным, либо ложным);

·        закон противоречия (неверно, что высказывание может быть одновременно истинным и ложным).

В начале ХХ в. выяснилось, что закон исключенного третьего, строго говоря, не является законом логики, в силу того, что он действует только применительно к конечному множеству объектов, тогда как, например, числа представляют собой бесконечное множество. Возьмем утверждение: всякое целое число, большее единицы, есть либо простое, либо сумма двух простых, либо сумма трех простых. Неизвестно, так это или нет, хотя во всех рассмотренных случаях это так (а их конечное число). Назовем исключительным числом число, которое не удовлетворяет принятому утверждению. Существует ли такое число или нет? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допущения его существования. Отсюда делается вывод о неприменимости закона исключенного третьего в таких случаях». В данном случае, также показывающем, что не все законы двухзначной логики срабатывают, речь шла о так называемом интуиционистском понимании логики.

Аналогичным образом, двухзначная логика плохо описывает некоторые модальные высказывания. Например, высказывания «возможно, идет дождь» и «возможно, не идет дождь» не противоречат друг другу. Может быть, идет, а может, уже кончился. Но их немодальные аналоги — «дождь идет» и «дождь не идет» — являются явными противоречиями. Для подобных случаев и создавались модальные логики. Их авторы — Я. Лукасевич, Э. Пост, Д. Бочвар, Г. Рейхенбах стремились более адекватно, чем это делает классическая двузначная логика, описать такие сложные процессы, как процессы в микромире, или обойти такие технические трудности, как в примере с модальными высказываниями. В результате было построено несколько самостоятельных систем модальных логик со своей аксиоматикой, своими законами, отличающимися от законов двузначной логики.

Логическая система, базирующаяся на операторах "возможно, что" и "необходимо, чтобы"³⁶ называется логикой возможного или модальной логикой. Рассмотрим примеры модальных операторов:

N - необходимо. Формула N(A) истинна тогда и только тогда, когда A абсолютно истинна или A есть истинна во всех возможных мирах;

B - возможно. Формула B(A) истинна, когда A может оказаться истинной, или если A условно истинна, или если A истинна в некотором возможном мире.

Семантику для модальной логики предикатов можно определить как для классической. Обозначим через M - класс "необходимых высказываний", через P - "возможных", через I - "невозможных", через C - "нейтральных" (возможно ложных). Никакое высказывание не принадлежит одновременно M и C или I и P. Это закон противоречия. Класс M содержится в P, а класс I в C. Существуют высказывания, которые являются возможными и нейтральными одновременно. Такие высказывания называются проблематичными. Обозначим их через U. Каждому из классов M, U, I соответствует своя интерпретация: необходимо, проблематично, невозможно. Этим интерпретациям поставим в соответствие символы 2, 1, 0, которые будут являться логическими (истинностными) значениями высказываниям. Такая трехзначная логика была предложена Я.Лукасевичем. Семантическое значение модальной формулы можно определить, используя нижеследующие таблицы истинности:

Рис.1.3. Таблицы трехзначных функций и модальных операторов

К модальной логике относится также темпоральная логика или логика времени. Как всякая логика она анализирует формы высказываний с учетом истинностных оценок. Оценки истинности являются результатами анализа высказываний, и высказывания как таковые принадлежат к прошлому несмотря на то, что они могут содержать модальный оператор будущего времени, например, “всегда будет так, что ...”. Модальные операторы могут строиться с учетом структуры времени: является ли время линейным, ветвящимся или циклическим. С этим делением можно ассоциировать соответственно три взгляда на природу времени: время абсолютно (стрела времени), время субъективно и времени нет (цикл или круг издавна служили символом вечности).