Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Определение Матрицей размера называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов.
Обозначение
Определение Матрицы называются равными,
, если они имеют одинаковые размеры и
.
Определение Матрица называется квадратной, если .
Определение Диагональ квадратной матрицы, начинающаяся в левом верхнем, и оканчивающаяся в правом нижнем углу, называется главной; вторая диагональ – неглавная.
Определение Квадратная матрица называется единичной, если все числа на главной диагонали равны 1, а все числа вне главной диагонали равны 0.
Определение Матрица называется нулевой (нуль-матрица), если все ее элементы равны .
Определение Суммой двух матриц размера
называется матрица
.
Определение Произведением матрицы на число
называется матрица
.
Определение Произведением матрицы размера
на матрицу
размера
называется матрица
размера
, элементы которой вычисляются по правилу
.
Определение Квадратная матрица размера
называется обратной к квадратной матрице
размера
, если
.
_____
Определение 1 Определителем (детерминантом) первого порядка квадратной матрицы размера
называется число
.
Определение 2 Определителем -го порядка квадратной матрицы
разме
ра называется число
,
где - определитель
-го порядка матрицы, которая получается
вычеркиванием из матрицы
-той строки и
-го столбца.
ЗАМЕЧАНИЕ Данная формула вычисления называется разложением определителя по - ой строке. Формула разложения по
- ому столбцу имеет вид
.
ТЕОРЕМА 1) Если в определителе поменялись местами две строки (два столбца), то новый определитель будет отличаться от исходного только знаком.
2) Если элементы одной строки (или столбца) умножить на одно и тоже число λ, то полученный новый определитель будет в λ раз больше исходного.
3) Если к одной строке (столбцу) прибавить поэлементно другую строку (столбец), то полученный новый определитель совпадет с исходным.
4) Пусть два определителя одинакового порядка различаются только одной строкой (столбцом). Тогда их сумма совпадает с определителем, у которого соответствующая строка (столбец) есть сумма строк (столбцов) слагаемых определителей.
Определение Минором порядка матрицы
называется определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении каких-либо
строк и
столбцов матрицы
.
Определение Рангом матрицы называется самый большой порядок у не равных нулю миноров этой матрицы. Обозначение .
Определение Квадратная матрица А называется невырожденной, если , то есть когда
.
Определение Матрица называется транспонированной к матрице
.
Определение Число называется алгебраическим дополнением элемента
матрицы
, а матрица
- присоединенной матрицей к матрице
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если матрица не вырождена, то существует обратная матрица
, которая вычисляется по формуле
.
_____
Определение Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
называется система уравнений вида , где известные числа
, называются коэффициентами СЛАУ; известные числа
- свободными членами; неизвестные, искомые числа
- решением СЛАУ.
Обозначения - матрица коэффициентов;
- матрица свободных членов;
- матрица неизвестных;
- расширенная матрица СЛАУ.
Эти обозначения позволяют записать СЛАУ в матричном виде .
Определение Решить СЛАУ – это значит найти все ее решения.
Определение СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае СЛАУ несовместна.
Определение Две СЛАУ одинакового порядка называются эквивалентными, если они
обе несовместны или обе совместны и имеют одинаковое множество решений.
ЗАМЕЧАНИЕ СЛАУ переходит в эквивалентную при следующих элементарных преобразованиях: 1) перестановка местами двух уравнений,
2) умножение какого-либо уравнения на неравное нулю число,
3) поэлементное прибавление к одному уравнению другого уравнения.
Определение СЛАУ называется определенной, если она имеет ровно одно решение и неопределенной, если решений больше одного.
ТЕОРЕМА 1) (критерий Кронекера-Капелли совместности СЛАУ) СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой СЛАУ равен рангу расширенной матрицы.
2) (критерий определенности СЛАУ) Для того чтобы СЛАУ была определенной необходимо и достаточно, чтобы она была совместной и ранг матрицы коэффициентов совпадал с числом неизвестных:
3) (формулы Крамера) Определенная СЛАУ с помощью элементарных преобразований приводится к СЛАУ, у которой матрица коэффициентов квадратная и
. В этом случае решение СЛАУ вычисляется по формулам Крамера
где
-определитель, получаемый из
заменой i-ого столбца на столбец свободных членов.
СЛЕДСТВИЕ СЛАУ с будет определенной тогда и только тогда, когда
Определение Элементарными преобразованиями матрицы называются
следующие: 1) перестановка двух строк;
2) поэлементное умножение какой-либо строки на неравное нулю число;
3) прибавление к одной строке соответствующих элементов другой строки.
ЗАМЕЧАНИЕ СЛАУ преобразуется в эквивалентную, если ее расширенную матрицу подвергнуть элементарным преобразованиям.
Определение Методом Гаусса называется метод решения СЛАУ с помощью элементарных преобразований по следующему правилу.
АЛГОРИТМ Сначала обнуляются все элементы, стоящих ниже главной
диагонали последовательно по столбцам, начиная с первого; затем обнуляют
элементы над диагональю последовательно по столбцам, начиная с -го.
_____
Определение Векторным (линейным) пространством называется множество Е, для элементов которого определены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие следующим аксиомам:
1)
2)
3)
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8).
Определение Линейной комбинацией (линейной алгебраической суммой) элементов называется сумма вида
, где
- действительные числа, которые называются коэффициентами разложения.
Определение Элементы называются линейно зависимыми, если существует равная нулю линейная комбинация этих элементов, в которой не все коэффициенты равны нулю. В противном случае элементы называются линейно независимыми.
СЛЕДСТВИЕ Элементы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них представим в виде линейной комбинации остальных.
Определение Последовательность элементов называется полной (базисом) в векторном пространстве
если каждый элемент из Е (единственным образом) представим в виде линейной комбинации этих элементов.
ТЕОРЕМА 2.3 1) Последовательность является базисом в векторном пространстве тогда и только тогда, когда элементы
линейно независимы и каждый элемент из
представим в виде их линейной комбинации.
2) Базисы в векторном пространстве имеют одинаковое число элементов.
Определение Если в векторном пространстве существует базис, то число элементов этого базиса называется размерностью пространства Е, а пространство называется
- мерным. Обозначение.
.
Определение Векторное пространство Е называется бесконечномерным, если в нём не существует базис с конечным числом элементов.
Определение Декартовым произведением векторных пространств E и F называется декартово произведение соответствующих множеств , на котором определены операции сложения элементов и умножения их на число по правилу:
,
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Введенные операции на декартовом произведении удовлетворяют 8 аксиомам.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Аналогично определяются декартовы произведения пространств
и
.
5 развернутых важных примеров векторных пространств.
ПРИМЕР 1 Пространство векторов с общим началом .
ПРИМЕР 2 Пространство комплексных чисел .
Определение Символ вида , обладающий свойством
, называется мнимой единицей.
Определение Выражение вида , где
, называется комплексным числом (в алгебраической форме).
Обозначение Комплексное число традиционно обозначается буквой ; множество комплексных чисел обозначается
.
Определение Вещественное число называется действительной частью комплексного числа
, а вещественное число
называется коэффициентом мнимой части
комплексного числа.
Обозначение .
Определение Комплексные числа , называются равными, если равны их действительные и мнимые части:
.
Определение Число вида называется нулём (комплексным) и кратко обозначается
. Вместо
обычно пишут просто
.
Определение Суммой комплексных чисел ,
называется комплексное число
.
Следующее определение несколько более общее, чем требуется в этом примере.
Определение Произведением комплексных чисел ,
называется комплексное число
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество комплексных чисел удовлетворяяет аксиомам 1)-8) векторного пространства относительно операций сложения и умножения на действительной число. Две аксиомы мы уже проверили.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Вещественная и мнимая единицы 1, образуют базис в
. Поэтому
.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 В определении векторного пространство элементы умножаются на действительные числа. Аналогично определяется векторное пространство, в котором элементы умножаются на комплексные числа. В этом случае говорят о векторном пространстве над полем комплексных чисел (комплексном пространстве).
ПРИМЕР 3 Пространство матриц размера
.
Определения равенства матриц, нулевой матрицы, суммы матриц и произведения
матриц на число мы уже давали. Из восьми аксиом проверим для множества
, например, четвертую. Матрица
является
противоположной к матрице .
Действительно, - нуль-матрица.
ЗАМЕЧАНИЕ Попарно различные матрицы размера в количестве
штук, у каждой из которых один элемент равен 1, а остальные равны 0, образуют
базис в пространстве .
ПРИМЕР 4 Пространство многочленов степени
.
Определение Многочленом степени называется функция вида
, где
(или
), причем
. То есть многочлен является линейной комбинацией степеней
Определение Многочлены ,
называются равными, если у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях
Определение Многочлен называется нулевым (нулем в простран стве)
и обозначается
.
Определение Суммой многочленов называется многочлен
.
Определение Произведением числа на многочлен
называется многочлен .
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество удовлетворяет аксиомам 1)-8), и потому является векторным пространством.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Последовательность многочленов является базисом в
. Поэтому
.
ПРИМЕР 5 Арифметическое пространство .
мы обозначили множество упорядоченных
-ок действительных чисел.
Определение Две -ки
называются равными, если числа, стоящие на одинаковых местах, совпадают:
.
Определение Нулём в называется
- ка вида
.
Определение Суммой двух - ок
называется
- ка
.
Определение Произведением числа на
- ку
называется
- ка
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество удовлетворяет аксиомам 1)-8), и потому является векторным пространством.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Элементы
образуют базис в . Следовательно,
.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 Множества чисел не являются векторными пространствами.
_____
Определение Отображением множества в множество
называется правило, сопоставляющее каждому элементу из
один элемент из
. В случае
отображение называется преобразованием.
Обозначение Правило обозначается латинскими буквами. Например, .
Определение Множество называется областью определения отображения
;
множество - областью значений отображения; множество
- множеством значений (образом отображения)
.
Определение Отображение из векторного пространства
в векторное пространство
называется линейным оператором (отображением), если
.
Определение Линейный оператор называется изоморфизмом векторных пространств
и
, если он переводит разные элементы в разные:
, и каждый элемент из
является образом некоторого элемента из
:
. При этом пространства
называются изоморфными.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Это понятие позволяет формулировать результаты для векторного пространства на языке изоморфного ему пространства. Иногда это оказывается удобным.
Определение Линейный оператор из в
называется линейной формой (линейным функционалом).
Определение Отображение из векторного пространства
в вектор ное пространство
называется
- линейным полилинейным) отображением, если оно является линейным отображением из
в
по каждой переменной
,
, при фиксированных остальных.
Определение - линейное отображение из
в
называется
- линейной (полилинейной) формой.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 - линейное отображение принято называть билинейным отображением .
Определение Билинейная форма называется скалярным произведением на векторном пространстве
, если она обладает свойствами:
1) ; 2)
; 3)
Обозначение .
Определение Отображение , называется нормой, если оно обладает
свойствами:
1); 2)
; 3)
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Понятие нормы, как нетрудно заметить по свойствам, обобщает понятие длины вектора в .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Каждое скалярное произведение порождает норму в
по правилу
.
СЛЕДСТВИЕ Естественное скалярное произведение в обладает свойством
.
Определение -мерным евклидовым (точечным) пространством называется тройка объектов:
-мерное векторное пространство
, какое-либо скалярное произведение
на нём и множество “точек”
, которые согласованы следующим образом:
1) каждой упорядоченной паре точек поставлен в соответствие один элемент
, который обозначают
; 2)
существует единственная точка
со свойством
; 3)
.
Обозначение .
Определение Расстоянием между двумя точками называется число
.
Определение мерным аффинным пространством называется пара
со свойствами 1) -3).
Определение мерным евклидовым векторным пространством называется пара
.
Определение - мерным арифметическим евклидовым пространством
называет ся тройка объектов: арифметическое пространство
, естественное скалярное произведение
и множество ”точек”
. При этом точки
,
свяжем с вектором из
по правилу
. Тогда расстояние между точками
,
вычисляется по формуле
.