Математика

первого и второго семестров  (бакалавры)
(для инженерных специальностей с большим объемом курса математики)

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Под множеством будем понимать совокупность элементов, обладающим каким-либо свойством.
Обозначение Множество обозначается прописными латинскими буквами A,B,X,... ; элементы – строчными латинскими a,b,x,.. ; свойство  представляет собой предложение или формулу P(x), содержащие обозначение элемента. Запись A:={x : P(x)} читается "A по определению есть множество элементов x, которые обладают свойством P(x)

ПРИМЕР Множество  натуральных чисел 1,2,... . Множество  целых чисел 0,±1,±2,... Множество  рациональных чисел (дробей). Множество действительных

(вещественных) чисел  , которое состоит из множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел I. Иррациональными являются, например, числа √2=1,4241..., π=3.14159..., e=2.71828... .

ЗАМЕЧАНИЕ Действительной число рационально тогда и только тогда, когда оно представимо периодической десятичной дробью.

Определение Множество, не содержащее элементов, называется пустым.

Обозначение φ.

Определение Множество B, все элементы которого принадлежат A, называется подмножеством множества A.

Обозначение B⊆A.  Если же B является подмножеством, но не совпадает с A, то B⊂A.

Определение Множества A, B совпадают, если A⊆B, B⊆A .        

Обозначение A=B.

.

ЗАМЕЧАНИЕ  Если A:={x : P(x)} , то .

_____

Определение  Высказывание – предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно.

Обозначение Если нас интересует высказывание безотносительно к его истинности или ложности, то оно обозначается большими латинскими буквами A,B... . Истинное высказывание обозначается 1, а ложное - 0.

Определим 5 операций над высказываниями.

Определение  Отрицанием высказывания A называется высказывание, которое истинно, если A ложно, и наоборот, ложно, если  A истинно.

Обозначение  ¬A  или  ¯A. Читается "неверно, что A".

Истинностная таблица операции отрицания есть   

Определение   Дизъюнкцией высказываний A, B называется высказывание, которое истинно, когда истинно или A или B, или оба вместе.

Обозначение A

B. Читается  "A или B".

Истинностная таблица операции дизъюнкции   

Определение  Конъюнкцией высказываний A, B  называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда и A, B  истинны. Обозначение A∧B  или просто AB.Читается "A и B".

Истинностная таблица конъюнкции    

Определение  Импликацией высказываний A, B называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно.

Обозначение A, B. Читается "если A, то B" или "из A следует B".

Истинностная таблица импликации     

Определение  Эквиваленцией высказываний  A, B называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда A, B оба истинны или оба ложны.    Обозначение A⇔B.  Читается  "A тогда и только тогда, когда B", или "A равносильно B".

Истинностная таблица операции эквиваленции   

_____

Определение Высказывание, получаемое из какой-либо группы исходных (элементарных, простых) с помощью 5 операций, называется  формулой (логической).

Порядок выполнения операций в формуле следующий: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ .

Порядок можно изменить расстановкой скобок.

Определение  Переменные, принимающие только два значения 0 или 1, называются двоичными. Функция от n двоичных переменных, принимающая только два значения 0 или 1, называется булевой функцией.

Каждая формула порождает булеву функцию,  которая задается истинностной
таблицей.

Определение Формулы называются эквивалентным (равносильными), если их булевы функции совпадают.  Обозначение AB.

Определение Теорема, формулируемая в форме высказывания A⇒B называется прямой. Образованное из нее высказывание ¬A⇒¬B - обратной теоремой. Высказывание вида ¬B⇒¬A называется  противоположной теоремой, а высказывание B⇒A -  теоремой, обратной к противоположной.

ЗАМЕЧАНИЕ Прямая теорема равносильна обратной к противоположной; обратная теорема равносильна противоположной.

Это следует из совпадения соответствующих таблиц истинности.

Определение  Методом доказательства от противного теоремы A⇒B называется доказательство равносильной ей теоремы ¬B⇒¬A.

Определение Теорема, формулируемая в форме A⇔B, называется критерием.

ЗАМЕЧАНИЕ Так как , то  доказательство критерия равносильно доказательству двух теорем - прямой и обратной.

_____

Определение  Понятия, обладающие объемом с числом объектов >1 называются предметными переменными, а их объем называется областью определения предметной переменной. Конкретные значения (реализации, интерпретации, примеры) этих понятий, а также имена собственные называются предметными постоянными. Предметные постоянные и предметные переменные называются  термами.

Определение  Предложение, содержащее термы, называется высказывательной функцией (предикатом), если оно становится высказыванием всякий раз, когда входящие в него предметные переменные принимают конкретные значения.

Определение Предикат называется n-местным, если он содержит n предметных переменных. Обозначение  P(x₁,... x_n).

ЗАМЕЧАНИЕ 0-местный предикат естественно считать высказыванием.

Определение Областью определения предиката называется множеств D n-ок значений 

(x₁,... x_n), которые могут принимать предметные переменные X₁,... X_n .

Для предиката P(x₁,... x_n) обозначим  подмножество тех n-ок переменных,  на которых этот предикат превращается в истинное высказывание.

Определение  Квантором общности называется операция перехода от  n- местного предиката P(x₁,... x_n) к (n-1)-местному предикату, которая читается так: "для каждого  имеет место P(x₁,... x_n)".

Обозначение .

Определение Переменная  x_k  предиката P(x₁,... x_n) называется свободной, а

исчезнувшая переменная X_k предиката   называется
связанной.

Определение Квантором существования называется операция перехода от n-местного предиката P(x₁,... x_n) к (n-1)-местному, которая читается так: "для некоторого  имеет место P(X₁,..., x_{k ,...} X_n)".

Обозначение .

ЗАМЕЧАНИЕ Над предикатами можно производить пять логических операций.

Скачать архив