Математика

Интегральное исчисление функций одной переменной

Определение Пусть функция  определена на интервале . Дифференцируемая на  функция называется первообразной функции , если  .
ЗАМЕЧАНИЕ Если  есть первообразная функции  на , то любая другая первообразная имеет вид , где  - произвольная постоянная.
Определение Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом этой функции.
СЛЕДСТВИЕ  Два интеграла совпадают тогда и только тогда, когда они имеют общую функцию.
Определение Проинтегрировать функцию – это значит ее первообразную.
Обозначение .
Имеет место такая таблица первообразных от элементарных функций.
 

       
ТЕОРЕМА (правила и формулы интегрирования) 
1) , если хотя бы два
из трех интегралов существуют.          2) (формула замены переменных) Если 
 и функция   непрерывно дифференцируема на , то на  существует интеграл функции   и он вычисляется по    формуле .     3) (формула интегрирования по частям) Если функции  дифференцируемы на , и существует один из интегралов    , то существует второй интеграл и имеет место равенство.
______
Определение  Пусть функция  имеет производную порядка  в точке .  
называется нулем кратности  функции  (корнем кратности  уравнения ), если   .
В разделе теории функций комплексного переменного будет доказана
ТЕОРЕМА (Гаусс) Многочлен -ой степени , имеет
ровно  корней, если учитывать кратность каждого корня и  все комплексные корни. Если  его корни, то имеет место представление
.
СЛЕДСТВИЕ  Многочлен с действительными коэффициентами единственным образом представим в виде произведения степеней одно членов  и квадратных трехчленов с действительными коэффициентами , имеющих сопряженные комплексные нули.
Определение  Рациональная функция   называется правильной дробью, если .
 ЗАМЕЧАНИЕ  Неправильную рациональную функцию с помощью деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.
Определение  Рациональные функции с вещественными коэффициентами  вида  или вида , где квадратный трехчлен имеет комплексные сопряженные нули, называются простейшими дробями.
ЗАМЕЧАНИЕ  Каждая правильная дробь единственным образом представима в виде суммы простейших дробей. Алгоритм  представления называется методом неопределенных коэффициентов.
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Пусть  - рациональная функция двух переменных, а    - дробно-линейная функция. Тогда интеграл вида  сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены переменной .          
ЗАМЕЧАНИЕ 2  Интеграл вида  приводится к интегралу о рациональной функции с помощью универсальной подстановки .           ЗАМЕЧАНИЕ 3  Следующие  интегралы специального вида приводятся к
интегралам от рациональных функций с помощью соответствующих замен
 .
ЗАМЕЧАНИЕ 4  К интегралам от рациональных функций с  помощью двух последова тельных замен приводятся и такие интегралы                         .
____
Определение  Разобьем отрезок  точками  на  попарнонепе ресе кающихся отрезков, и обозначим это разбиение . Длина наибольшего из отрез ков , где  , называется диаметром разбиения  отрезка .
ЗАМЕЧАНИЕ  При  число  отрезков разбиения стремится к бесконечно сти, а длины всех этих отрезков равномерно  стремятся к нулю.
Определение Пусть на отрезке  задана функция. Произведем разбиение , и выберем на -ом отрезке разбиения точку . Обозначим . Сумма вида  называется интегральной суммой. Если существует конечный предел , равномерный относительно выбора точек :
,
то он называется  определенным интегралом (Римана) функции  на отрезке  , а  - интегрируемой по Риману функцией.      Обозначение  .
Определение Пусть на отрезке  заданы две функции . Множество точек  называется криволинейной трапецией .
Определение Если существует определенный интеграл
,
то он называется площадью криволинейной трапеции.
_____
Определение Функция  называется кусочно непрерывной на , если она непрерывна на  за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
ЗАМЕЧАНИЕ Кусочно непрерывная функция ограничена на .
Определение Функция  называется кусочно монотонной на , если она ограничена и для некоторого разбиения    не убывает или не возрастает на каждом интервале .
ТЕОРЕМА (существования интеграла Римана)   1) Если  кусочно непрерывна
или кусочно монотонна на , то интеграл  существует. 2) Еслиинтеграл
 существует, то  ограничена на .
ТЕОРЕМА (свойства определенного интеграла)
1) , если хотя бы два из этих интегралов существуют .    
2) Если , то .   3) Если   интегрируема на  и , то .
4) (теорема о среднем)  Если  непрерывна, а знакопостоянна на , то      при  условии существования интегралов.
5) .
ЗАМЕЧАНИЕ  Если при определении определенного интеграла разбиение отрезка  проводить убывающей последовательностью точек , то .
Это согласуется с равенством .
_____
Кроме знания факта существования интеграла и его свойств необходим еще алгоритм вычисления определенного интеграла.
Определение Пусть  интегрируема на отрезке  . Можно оказать, что она
интегрируема на каждом  . Функция  называется 
интегралом с переменным верхним пределом.
ТЕОРЕМА  1) Если  непрерывна на , то функция  является ее первообразной.
2) (формула Ньютона-Лейбница) Если  непрерывна на  и  какая-либо ее первообразная, то  . 
3) (формула замены переменной)  Если  непрерывна на , а функция  непрерывно дифференцируема на  и  , то  .
4) (формула интегрирования по частям)  Если функции  непрерывно
дифференцируемы на , то , где 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция  интегрируемая и четная (нечетная) на отрезке , то .
____
ЗАМЕЧАНИЕ  Если  непрерывно дифференцируема на , то для любого разбиения  этого отрезка по формуле Лагранжа найдется последовательность точек  со свойством  ,  то есть определенный интеграл  совпадает с некоторой интегральной суммой функции.
Определение Пусть  определена на . Сумма вида , где , называется квадратурной формулой, числа  - узлами квадратурной формулы, а числа  - коэффициентами. Число  называется  остаточным членом квадратурной формулы.
Из многочисленных приближенных формул вычисления интеграла  приведем  формулу прямоугольников.
ЗАМЕЧАНИЕ Разобьем   равноотстоящими точками,
 на  отрезков одинаковой  длины. Если функция  имеет непрерывную производную второго порядка на , то квадратурная формула прямоугольников имеет вид , где       и   
.
_____
Определение  Пусть кривая  задана параметрическим уравнением . Фиксируем разбиение  и выберем точки  кривой . Так как длина отрезка ,  равна , то длина ломаной , составленной из этих отрезков и вписанной в , равна . Если существует конечный , то он называется длиной кривой , а сама кривая называется спрямляемой.
Определение  Кривая  называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких кусков.
ТЕОРЕМА  1) (вычисление длины дуги) Если кривая кусочно гладкая, то она спрямляемая.  Ее длина вычисляется по формуле . В случае задания  функцией ,  . В случае задания  в полярной системе координат: ,  , .
2) (вычисление площади) Пусть дан  криволинейный сектор , где функция , непрерывна. Тогда площадь сектора существует и вычисляется по формуле  .
3) (вычисление объема) Пусть функция  непрерывна и неотрицательна. Тогда объем тела, получаемого вращением криволинейной трапеции  вокруг отрезка   оси  , существует  и вычисляется по формуле  .
4) (вычисление площади поверхности) Пусть функция  кусочно гладкая и неотрицательна. Тогда площадь боковой поверхности  тела, получае мого вращением криволинейной трапеции  вокруг отрезка   оси  , существует и вычисляется  по формуле
.
____
Определение  Пусть функция  определена на  и интегрируема на каждом
отрезке . Если существует конечный предел , то он
называется несобственным интегралом функции  на промежутке . В
этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Аналогично определяется несобственный  интеграл . Несобственный интеграл , при условии, что несобственные интегралы в правой части существуют при некотором .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 (интегральный признак Коши) Пусть для знакоположительного ряда  и положительной  невозрастающей непрерывной  на   функции  имеют место равенства .  Тогда несобственный интеграл  и  ряд   одновременно сходятся или расходятся.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 (признаки сходимости несобственного интеграла)
1) Пусть ,  интегрируема на каждом отрезке   и сходится интеграл . Тогда сходится интеграл .
 2) Пусть ,  интегрируемы на каждом отрезке  и
интеграл  расходится. Тогда расходится интеграл .
3) Пусть ,   интегрируемы на каждом отрезке  и существует конечный положительный предел . Тогда интегралы  одновременно сходятся или расходятся.
_____
Определение  Пусть функция  определена на полуинтервале , не ограничена в окрестности точки  и  интегрируема на каждом . Если существует конечный предел , то он называется несобственным интегралом от неограниченной  функции  на отрезке . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Аналогично определяется  несобственный интеграл . Пусть  определена на отрезке   за исключением точки , в окрестности которой она не ограничена. Несобственный интеграл при условии, что несобственные интегралы в правой части    существуют.
ЗАМЕЧАНИЕ 2  Аналогичные признаки сходимости имеют место для несобственного интеграла на конечном отрезке.