Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Определение Пусть функция определена на
и является предельной точкой. Если существует конечный предел
то он называется производной функцией в точке
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция имеет производную в точке
, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.
_____
Определение Если существует конечный предел , то говорят, что график функции
имеет касательную в точке
. Уравнение
называется уравнением касательной, а число
- угловым коэффициентом касательной.
ЗАМЕЧАНИЕ Касательная в смысле данного определения удовлетворяет соотношению из общего определения касательной.
СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл производной) График функции имеет касательную в точке
тогда и только тогда, когда
имеет производную в
. В этом случае угловой коэффициент касательной
.
Определение Если график функции имеет касательную в точке , то прямая
проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику в
.
ЗАМЕЧАНИЕ Так как вектор нормали к касательной перпендикулярен вектору
, то уравнение нормали можно записать в виде
____
Определение Правой (левой) производной функции в точке
называется конечный предел
, если он существует.
ТЕОРЕМА (правила дифференцирования) 1) .
2) 3)
в тех точках, где знаменатель не равен нулю. 4) Пусть
монотонна, непрерывна в окрестности
и дифференци- руема в
и
,
. Тогда обратная функция
монотонна, непрерывна в окрестности точки
, дифференцируема в
и
. 5) (производная сложной функции) Пусть функция
определена в окрестности
и дифференцируема в
; пусть
определена в окрестности
и дифференцируема в
. Тогда функция
дифференцируема в окрестности и
.
_____
Определение Пусть функция определена в окрестности точки
. Говорят, что
- дифференцируема (расчленима) в точке
если
, где
есть БМ при
. Если
дифференцируема в
, то слагаемое
называется дифференциалом функции
. Обозначение
.
ТЕОРЕМА (свойства дифференциала). 1) Функция дифференцируема в
тогда и только тогда, когда она имеет производную в
. При этом
.
2) . 3)
. 4)
.
5) (инвариантность дифференциала при замене) Если функция дифференцируема в точке
, а
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в
и
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Ввиду первого утверждения теоремы термины "дифференцируемая функция" и "функция, имеющая производную" взаимозаменяемы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 (геометрический смысл дифференциала) Так как уравнение
касателной к графику функции в точке
имеет вид
, то дифференциал
в точке
совпадает, очевидно, с приращением
ординаты касательной, проведенной в этой точке.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 При условии имеет место приближенное равенство
, которое используется для приближенного вычисления значений функции.
_____
Определение Производной нулевого порядка функции в точке называется ее значение в этой точке. Пусть существует производная - го порядка
в каждой точке некоторой окрестности точки
. Если существует конечный предел
,
то он называется производной n-го порядка функции в точке
.
Обозначение . Исторически приняты обозначения
.
Определение (физический смысл производной). Пусть материальная точка движется вдоль оси по закону
. Средней скоростью движения на промежутке
называется величина
. Мгновенной скоростью движения в момент времени
называется
.
Средним ускорением на промежутке называется величина
. Мгновенным ускорением в момент времени
называется
.
_____
Определение Функция называется дифференцируемой на множестве
, если она имеет производную в каждой точке
.
ТЕОРЕМА Пусть функции ,
непрерывны на
, дифференцируемы на
и
. Тогда: 1) (теорема Ролля) если
, то
. 2) (теорема Коши)
. 3) (правило Лопиталя) Если
и существует конечный предел
, то существует
и он равен
.
СЛЕДСТВИЕ (формула Лагранжа) Теорема Коши при принимает вид
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции дифференцируемы на
и
или
, то из
.
_____
Определение Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции
, если
. Точки
локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.
ТЕОРЕМА (о локальном экстремуме) 1) Если не возрастает (не убывает) и дифференцируема на
, то
.
2) Если , то
возрастает (убывает) на
.
3) (теорема Ферма) Если - точка локального экстремума функции
, и
дифференцируема в
, то
.
4) (первое достаточное условие экстремума). Пусть дифференцируема на
,
. Если
и
, то
- точка максимума (минимума) на
.
5) (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть имеет вторую производную
и
. Если
, то
- точка локального максимума (минимума).
Определение Пусть функция определена на
, и ее график имеет
касательную в каждой точке . Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на
, если она лежит выше (ниже) любой своей касательной.
Определение Точка , называется точкой перегиба кривой, если эта кривая выпукла (вогнута) на
и вогнута (выпукла) на
.
ТЕОРЕМА Пусть дважды дифференцируема на
. 1) (необходимые условия выпуклости) Если кривая выпукла (вогнута) на
, то
не убывает (не возрастает) на
и
. 2) (достаточные условия выпуклости) Если
монотонно возрастает (убывает) на
или
, то кривая выпукла (вогнута) на
. 3) (необходимые условия точки перегиба). Если
- точка перегиба кривой, то
.
Важной характеристикой гладкой кривой и одновременно мерой ее выпуклости является понятие кривизны.
Определение Пусть дана гладкая кривая , то есть функции
непрерывно дифференцируемы на
и все ее точки неособые. Обозначим
угол наклона касательной в точке
кривой, а
- длину дуги между точками
этой кривой. Предел
отношения приращения угла наклона касательной к длине соответствующей дуги, если он существует, называется кривизной кривой в точке
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции дважды дифференцируемы, то кривизна кривой в точке
вычисляется по формуле
.
СЛЕДСТВИЕ Если кривая задана уравнением , то
.
Из этой формулы и предыдущей теоремы следует, что положительное значение кривизны означает выпуклость, а отрицательное значение - вогнутость кривой в соответствующей точке. Кривыми с нулевой кривизной являются прямые и только они.
_____
Определение Пусть функция определена на некотором интервале
и имеет на нем производные до
-го порядка включительно. Многочлен степени
называется многочленом Тейлора. Разность
- остаточным членом. Формула
- формула Тейлора.
ТЕОРЕМА (свойства формулы Тейлора) 1) Многочлен Тейлора является единственным многочленом степени , который удовлетворяет равенствам:
.
2) Остаточный член можно представить в форме Лагранжа
, где число
находится между
и
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 В теореме остаточный член можно записать менее точно, в форме Пеано .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 При формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
совпадает с формулой Лагранжа. При
формула Тейлора с остаточнымчленом в форме Пеано совпадает с формулой дифференциала.
ЗАМЕЧАНИЕ Для положим
. Тогда
.
Формула Тейлора позволяет решать следующие три задачи.
1) По заданным степени многочлена и длине отрезка
оценить в терминах
величину отклонения
от
на
2) При заданным длине отрезка и точности
определить степень
многочлена
, отклонение которого от
на
не превышает
.
3) По заданным степени многочлена и точности
определить максимальную длину
отрезка
, на котором
отклоняется от
не более, чем на
.
_____
В заключение параграфа рассмотрим два случая расположения асимптот неограниченной кривой.
1) Асимптота вертикальная. В этом случае расстояние от переменной точки
кривой до асимптоты
,
когда стремится к бесконечности. Отсюда необходимо
.
2) Асимптота наклонная. По определению асимптоты
.
_____
Определение Пусть функции определены на непустом множестве
, являющемся общей частью их областей определения. Выражение вида
называется функциональным рядом. Множество точек
, в каждой из которых соответствующий числовой ряд
сходится, называется множеством сходимости функционального ряда.
ЗАМЕЧАНИЕ Если существует или
, то в силу признаков
соответственно Даламбера и Коши степенной ряд абсолютно сходится во всех
точках интервала и расходится во всех точках вне отрезка
.
называется интервалом сходимости, а число
- радиусом сходимости степенного ряда
.
Определение Функция , определенная на множестве
, называется суммой функционального ряда. При этом для степенного ряда
удобно обозначать .
Определение Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве
к своей сумме
, если
.
Понятие равномерной сходимости позволяет перенести свойство непрерывности членов ряда на его сумму.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции непрерывны на множестве равномер- ной сходимости
, то и сумма
ряда
непрерывна на этом множестве.
Определение Если функция имеет производные любого порядка в точке
, то степенной ряд вида
называется рядом Тейлора функции
. В случае
ряд
называется рядом Маклорена функции
.
Определение Пусть функция имеет производные любого порядка в точке
и пусть
- радиус сходимости ее ряда Тейлора. Если на
совпадает с суммой
этого ряда, то
называется аналитической функцией на
ТЕОРЕМА (свойства функциональных рядов) 1) Если и числовой ряд
сходится, то ряд
равномерно сходится на
.
2) Пусть функции непрерывны отрезке
и ряд
равномерно сходится на
. Тогда его можно почленно интегрировать: числовой ряд
сходится к
. 3) Пусть функции
имеют непрерывную производную на отрезке
. Пусть ряд
сходится в некоторой точке
, а ряд из производных
равномерно сходится на
. Тогда функциональный ряд
равномерно сходится на
к дифференцируемой функции
и
.
4) Сумма степенного ряда
имеет производные любого порядка в каждой точке интервала сходимости, причем
.
5) Если функция представима в окрестности точки
в виде суммы степенного ряда
, то необходимо
, то есть она необходимо продолжается до аналитической функции на интервале сходимости ряда.
6) Функция аналитическая на
и
;
функция аналитическая на
и
;
функция аналитическая на
и
;
функция аналитическая на
и
;
функция аналитическая на
и
.