Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Определение Пусть функция 
определена на
и является предельной точкой. Если существует конечный предел 
то он называется производной функцией 
в точке 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция 
имеет производную в точке 
, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.
_____
Определение Если существует конечный предел 
, то говорят, что график функции 
имеет касательную в точке 
. Уравнение 
называется уравнением касательной, а число 
- угловым коэффициентом касательной.
ЗАМЕЧАНИЕ Касательная в смысле данного определения удовлетворяет соотношению 
из общего определения касательной.
СЛЕДСТВИЕ (геометрический смысл производной) График функции 
имеет касательную в точке 
тогда и только тогда, когда 
имеет производную в 
. В этом случае угловой коэффициент касательной 
.
Определение Если график функции имеет касательную в точке 
, то прямая 
проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику в 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Так как вектор нормали к касательной 
перпендикулярен вектору
, то уравнение нормали можно записать в виде
____
Определение Правой (левой) производной функции 
в точке 
называется конечный предел 
, если он существует.
ТЕОРЕМА (правила дифференцирования) 1) 
.
2) 
3) 
в тех точках, где знаменатель не равен нулю. 4) Пусть 
монотонна, непрерывна в окрестности 
и дифференци- руема в 
и 
, 
. Тогда обратная функция 
монотонна, непрерывна в окрестности точки 
, дифференцируема в 
и 
. 5) (производная сложной функции) Пусть функция 
определена в окрестности 
и дифференцируема в 
; пусть 
определена в окрестности 
и дифференцируема в 
. Тогда функция 
дифференцируема в окрестности 
и 
.
_____
Определение Пусть функция 
определена в окрестности точки 
. Говорят, что 
- дифференцируема (расчленима) в точке 
если 
, где 
есть БМ при 
. Если 
дифференцируема в 
, то слагаемое 
называется дифференциалом функции 
. Обозначение 
.
ТЕОРЕМА (свойства дифференциала). 1) Функция 
дифференцируема в 
тогда и только тогда, когда она имеет производную в 
. При этом 
.
2) 
. 3) 
. 4) 
.
5) (инвариантность дифференциала при замене) Если функция 
дифференцируема в точке 
, а 
дифференцируема в точке 
, то сложная функция 
дифференцируема в 
и 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Ввиду первого утверждения теоремы термины "дифференцируемая функция" и "функция, имеющая производную" взаимозаменяемы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 (геометрический смысл дифференциала) Так как уравнение
касателной к графику функции 
в точке 
имеет вид 
, то дифференциал 
в точке 
совпадает, очевидно, с приращением 
ординаты касательной, проведенной в этой точке.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 При условии 
имеет место приближенное равенство 
, которое используется для приближенного вычисления значений функции.
_____
Определение Производной нулевого порядка функции в точке называется ее значение в этой точке. Пусть существует производная 
- го порядка 
в каждой точке некоторой окрестности точки 
. Если существует конечный предел
,
то он называется производной n-го порядка функции 
в точке 
.
Обозначение 
. Исторически приняты обозначения 
.
Определение (физический смысл производной). Пусть материальная точка движется вдоль оси 
по закону 
. Средней скоростью движения на промежутке 
называется величина 
. Мгновенной скоростью движения в момент времени 
называется
.
Средним ускорением на промежутке 
называется величина 
. Мгновенным ускорением в момент времени 
называется
.
_____
Определение Функция 
называется дифференцируемой на множестве
, если она имеет производную в каждой точке 
.
ТЕОРЕМА Пусть функции 
, 
непрерывны на 
, дифференцируемы на 
и 
. Тогда: 1) (теорема Ролля) если 
, то 
. 2) (теорема Коши) 
. 3) (правило Лопиталя) Если 
и существует конечный предел 
, то существует 
и он равен 
.
СЛЕДСТВИЕ (формула Лагранжа) Теорема Коши при 
принимает вид 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции 
дифференцируемы на 
и 
или 
, то из 
.
_____
Определение Точка 
называется точкой локального максимума (минимума) функции 
, если 
. Точки
локальных максимумов и минимумов называются точками локального экстремума.
ТЕОРЕМА (о локальном экстремуме) 1) Если 
не возрастает (не убывает) и дифференцируема на 
, то 
.
2) Если 
, то 
возрастает (убывает) на 
.
3) (теорема Ферма) Если 
- точка локального экстремума функции 
, и 
дифференцируема в 
, то 
.
4) (первое достаточное условие экстремума). Пусть 
дифференцируема на 
, 
. Если 
и 
, то 
- точка максимума (минимума) на 
.
5) (второе достаточное условие локального экстремума). Пусть 
имеет вторую производную 
и 
. Если 
, то 
- точка локального максимума (минимума).
Определение Пусть функция 
определена на 
, и ее график имеет
касательную в каждой точке 
. Говорят, что эта кривая выпукла (вогнута) на 
, если она лежит выше (ниже) любой своей касательной.
Определение Точка 
, называется точкой перегиба кривой, если эта кривая выпукла (вогнута) на 
и вогнута (выпукла) на 
.
ТЕОРЕМА Пусть 
дважды дифференцируема на 
. 1) (необходимые условия выпуклости) Если кривая выпукла (вогнута) на 
, то 
не убывает (не возрастает) на 
и 
. 2) (достаточные условия выпуклости) Если 
монотонно возрастает (убывает) на 
или 
, то кривая выпукла (вогнута) на 
. 3) (необходимые условия точки перегиба). Если 
- точка перегиба кривой, то 
.
Важной характеристикой гладкой кривой и одновременно мерой ее выпуклости является понятие кривизны.
Определение Пусть дана гладкая кривая 
, то есть функции 
непрерывно дифференцируемы на 
и все ее точки неособые. Обозначим 
угол наклона касательной в точке 
кривой, а 
- длину дуги между точками 
этой кривой. Предел 
отношения приращения угла наклона касательной к длине соответствующей дуги, если он существует, называется кривизной кривой в точке 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции 
дважды дифференцируемы, то кривизна кривой в точке 
вычисляется по формуле 
.
СЛЕДСТВИЕ Если кривая задана уравнением 
, то 
.
Из этой формулы и предыдущей теоремы следует, что положительное значение кривизны означает выпуклость, а отрицательное значение - вогнутость кривой в соответствующей точке. Кривыми с нулевой кривизной 
являются прямые и только они.
_____
Определение Пусть функция 
определена на некотором интервале 
и имеет на нем производные до 
-го порядка включительно. Многочлен степени 
называется многочленом Тейлора. Разность 
- остаточным членом. Формула 
- формула Тейлора.
ТЕОРЕМА (свойства формулы Тейлора) 1) Многочлен Тейлора является единственным многочленом степени 
, который удовлетворяет равенствам:
.
2) Остаточный член 
можно представить в форме Лагранжа
, где число 
находится между 
и 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 В теореме остаточный член можно записать менее точно, в форме Пеано 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 При 
формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа 
совпадает с формулой Лагранжа. При 
формула Тейлора с остаточнымчленом в форме Пеано совпадает с формулой дифференциала.
ЗАМЕЧАНИЕ Для 
положим 
. Тогда
.
Формула Тейлора позволяет решать следующие три задачи.
1) По заданным степени 
многочлена и длине отрезка 
оценить в терминах 
величину отклонения 
от 
на 
2) При заданным длине отрезка 
и точности 
определить степень 
многочлена 
, отклонение которого от 
на 
не превышает 
.
3) По заданным степени многочлена 
и точности 
определить максимальную длину 
отрезка 
, на котором 
отклоняется от 
не более, чем на 
.
_____
В заключение параграфа рассмотрим два случая расположения асимптот неограниченной кривой.
1) Асимптота 
вертикальная. В этом случае расстояние от переменной точки 
кривой до асимптоты 
,
когда 
стремится к бесконечности. Отсюда необходимо 
.
2) Асимптота 
наклонная. По определению асимптоты 
.
_____
Определение Пусть функции 
определены на непустом множестве 
, являющемся общей частью их областей определения. Выражение вида 
называется функциональным рядом. Множество точек 
, в каждой из которых соответствующий числовой ряд 
сходится, называется множеством сходимости функционального ряда.
ЗАМЕЧАНИЕ Если существует 
или 
, то в силу признаков
соответственно Даламбера и Коши степенной ряд абсолютно сходится во всех
точках интервала 
и расходится во всех точках вне отрезка 
. 
называется интервалом сходимости, а число 
- радиусом сходимости степенного ряда 
.
Определение Функция 
, определенная на множестве
, называется суммой функционального ряда. При этом для степенного ряда
удобно обозначать 
.
Определение Функциональный ряд 
называется равномерно сходящимся на множестве 
к своей сумме 
, если 
.
Понятие равномерной сходимости позволяет перенести свойство непрерывности членов ряда на его сумму.
ЗАМЕЧАНИЕ Если функции 
непрерывны на множестве равномер- ной сходимости 
, то и сумма 
ряда 
непрерывна на этом множестве.
Определение Если функция 
имеет производные любого порядка в точке 
, то степенной ряд вида 
называется рядом Тейлора функции 
. В случае 
ряд 
называется рядом Маклорена функции 
.
Определение Пусть функция 
имеет производные любого порядка в точке 
и пусть 
- радиус сходимости ее ряда Тейлора. Если на 
совпадает с суммой 
этого ряда, то 
называется аналитической функцией на 
ТЕОРЕМА (свойства функциональных рядов) 1) Если 
и числовой ряд 
сходится, то ряд 
равномерно сходится на 
.
2) Пусть функции 
непрерывны отрезке 
и ряд 
равномерно сходится на 
. Тогда его можно почленно интегрировать: числовой ряд 
сходится к 
. 3) Пусть функции 
имеют непрерывную производную на отрезке 
. Пусть ряд 
сходится в некоторой точке 
, а ряд из производных 
равномерно сходится на 
. Тогда функциональный ряд 
равномерно сходится на 
к дифференцируемой функции 
и 
.
4) Сумма 
степенного ряда 
имеет производные любого порядка в каждой точке интервала сходимости, причем
.
5) Если функция 
представима в окрестности точки 
в виде суммы степенного ряда 
, то необходимо 
, то есть она необходимо продолжается до аналитической функции на интервале сходимости ряда.
6) Функция 
аналитическая на 
и 
;
функция 
аналитическая на 
и 
;
функция 
аналитическая на 
и 
;
функция 
аналитическая на 
и 
;
функция 
аналитическая на 
и 
.