_____

Определение В мерном евклидовом пространстве  совокупность каких-либо точки  и базиса  называется декартовой системой координат (ДСК).
Определение Символом Кронекера называется отображение , определяемое по правилу , если  и , если .
Определение Базис называется ортонормированным, если .

ЗАМЕЧАНИЕ Элементы  такого базиса попарно перпендикулярны:
 и их нормы равны единице: . Здесь аналогия со школой, когда равенство нулю скалярного произведения означало ортогональность векторов, а квадрат модуля вектора совпадал со скалярным произведением вектора на себя.
Определение  ДСК, в которой выделенный базис является ортонормированным, называется  прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК).
ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже ДСК предполагается прямоугольной, если не оговорено противное.
Определение Коэффициенты разложения элемента  по базису , называются, как и ранее, координатами (компонентами) вектора   в  базисе .
Обозначение . Это обозначение объясняется изоморфизмом между пространствами  и , устанавливаемым линейным оператором ,  где .
Определение Радиусом-вектором точки  и ПДСК называется  вектор .
Определение Координатами точки  в ПДСК называются компоненты её радиуса-вектора .
Обозначение Если , то .
Определение Пусть дана матрица  размера   и последовательность чисел . -мерной плоскостью в -мерном евклидовом пространстве  с фиксированной ПДСК называется множество точек , координаты которых удовлетворяют СЛАУ .
Определение  Прямой в  называется  -плоскость.
Определение  Полярной системой координат в  называется совокупность точки (-полюс) и луча с началом в этой точке (-полярная ось).
Определение  Полярными координатами точки  называется пара чисел , где угол между полярной осью и вектором , отсчитываемый против часовой стрелки.
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Каждая точка евклидовой плоскости  вполне определяется заданием полярных координат.
ЗАМЕЧАНИЕ 2  Совместим прямоугольную декартову и полярную системы координат так, чтобы начало координат совпадало с полюсом, а ось  - с полярной осью Тогда декартовы координаты  точки  и ее полярные координаты связаны, как легко усмотреть из рисунка, равенствами
  ,   .
Определение В  с ПДСК фиксируем точку . Тройка чисел , где , называется сферическими координатами точки .
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Каждая точка  вполне определяется своими сферическими координатами.
ЗАМЕЧАНИЕ 2  Так как , то декартовы и сферические координаты точки  связаны равенствами .
Определение В  с ПДСК фиксируем точку . Тройка чисел , где  называется цилиндрическими координатами точки .
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Каждая точка  вполне определяется своими цилиндрическими координатами.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 В ПДСК декартовы и цилиндрические координаты точки  связаны равенствами:  .
_____
Определение  Пусть даны ось  (направленная прямая) и вектор . Опустим перпендикуляры из его концов  на ось. Проекцией вектора   на ось  называется расстояние между основаниями этих перпендикуляров, взятое со знаком "+", если   , со знаком "-", если   и равное нулю, если . Правило, сопоставляющее каждому вектору его проекцию на ось, называется операцией проектирования.                                   Обозначение  пр.
ТЕОРЕМА                     1)  пр.      2)   пр пр+ пр.
3)   пр пр, то есть операция проектирования является линейным функционалом.   4) Фиксируем ПДСК в . Тогда проекции вектора  на оси
координат  совпадают с компонентами этого вектора  в базисе  :  если , то  пр,  пр,  пр;
5)  Косинусы , ,  называются направляющими
косинусами вектора   и связаны равенством     =1.
СЛЕДСТВИЕ  Скалярное произведение векторов связано с операцией проектирования  равенством  .
ЗАМЕЧАНИЕ  Пусть точка  делит отрезок  с концами в точках
 в отношении . Тогда координаты  вычисляются по
формулам .
____
В следующей теореме собраны свойства скалярного произведения.
ТЕОРЕМА     1)  .    2)  .     3)  .
4) Скалярное произведение является билинейной формой на .
5)  Если в ПДСК , то .
Определение  (физический смысл скалярного произведения) Работой постоянной силы  по перемещению материальной точки из начала в конец вектора  называется величина .
_____
Определение Упорядоченная тройка некомпланарных векторов  с общим началом называется правой (левой), если из конца вектора  движение от  к  по кратчайшему из двух углов происходит против (по) часовой стрелки(е).
Определение Векторным произведением векторов  называется вектор , если . В противном случае векторным произведением  называется вектор , который вполне определяется свойствами:    
1)  ;      2)  ;      3)   - правая тройка векторов.
Определение Смешанным произведением трех векторов  называется число .
ЗАМЕЧАНИЕ 1  (геометрический смысл модуля)

1)  численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  как на сторонах.  2)  численно равен объему призмы, построенной на векторах   как на ребрах   .
ЗАМЕЧАНИЕ 2   .
В следующей теореме собраны свойства векторного произведения.
ТЕОРЕМА      1) Векторное произведение является билинейным отображением из
 в .     2)  Если , то .
СЛЕДСТВИЕ Ненулевые векторы  параллельны тогда и только тогда, когда .
Векторное произведение имеет до десятка физических смыслов. Приведем наиболее характерные.
Определение (физический смысл векторного произведения). Моментом относительно точки  силы , приложенной к точке , называется вектор .
Определение (физический смысл векторного произведения) Пусть материальная точка  вращается по окружности (с центром ) с линейной скоростью . Вектором угловой скорости вращения этой точки относительно цента  называется расположенный на оси вращения вектор , определяемый равенством . Это равенство называется формулой Эйлера.
В следующей теореме собраны свойства смешанного произведения.
ТЕОРЕМА  1)    (векторы  компланарны)
2)  Смешанное произведение является  3– линейной формой: .
3)  Если , то  .
Напомним, что плоскостью L (2 - плоскостью) в   с фиксированной ПДСК называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению             , где .                                                         Определение Вектором нормали к плоскости называется вектор, перпендикуляр ный любому вектору, начало и конец которого лежат  в этой плоскости .                                                                                          Определение Углом между плоскостями называется угол между их векторами нормалей. В зависимости от выбранных векторов нормалей этот угол имеет два значения.                                                                                                                  ТЕОРЕМА  Пусть заданы 3 плоскости ; .      Тогда имеют место следующие утверждения.    1)  .      2). 3) Плоскости  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  .
4)  плоскости   пересекаются по одной прямой тогда и только тогда, когда .   5) .  6) Расстояние от точки  до плоскости  вычисляется по формуле
.
Определение  Пусть векторы   не коллинеарны, и задана точка  . Формула  , определяющая множество точек с координатами  в , называется  параметрическим уравнением плоскости.                                                                                                                    ЗАМЕЧАНИЕ  а) Если плоскость задана параметрическим уравнением, то ее общее уравнение имеет вид.                             б) Если плоскость задана уравнением   и  для определенности , то ее параметрическое уравнение можно задать, например, в виде . Следующее замечание доказывается аналогично теореме.
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть в какой-либо ПДСК в евклидовой плоскости  заданы две прямые  уравнениями . Тогда справедливы следующие утверждения.   1)  .         2)   .      3)_.        4) Расстояние от точки  до прямой  вычисляется по формуле   .                                                                                         
_____
Определение Множество точек, координаты которых удовлетворяют СЛАУ ,                    (1)                                                            где , называется уравнением прямой в , проходящей через точку .                                                                                                Определение Пусть даны вектор  и точка . Система уравнений вида                                  (2)
называется каноническим уравнением прямой.
 Формула, ,                                             (3)                       определяющая множество точек в  с координатами , называется  параметрическим уравнением прямой.                                                   ЗАМЕЧАНИЕ 1  Направляющий вектор  параллелен любому вектору, начало и конец которого лежат на этой прямой.                                                               ЗАМЕЧАНИЕ 2   Уравнения (1), (2), (3), в которых   задают одну и ту же прямую в .        Определение  Углом между двумя прямыми называется угол между  направляю щими векторами этих прямых. Этот угол принимает два значения.                           ТЕОРЕМА   Пусть даны две прямые   и плоскость . Тогда имеют место утверждения.                                          1)  скрещиваются  .                    2)                                                       3)  .                          4)   пересекаются  .                                                 5)  .                                                                                6) Расстояние от точки  до прямой  вычисляется по формуле 
.                                                                                                                 7) Расстояние между двумя прямыми вычисляется по формуле .
Приведем без доказательства виды уравнения прямой в евклидовой  плоскости . ЗАМЕЧАНИЕ а)  - каноническое уравнение прямой на плоскости.     б)   - уравнение прямой, проходящей через две точки .  в)   - параметрическое уравнение прямой.    г)   - уравнение прямой  "в отрезках на осях ". Название объясняя ется тем, что прямая пересекается с осью  в точке , а с осью  - в точке . д)  - нормальное уравнение прямой, где   - единичный вектор нормали к прямой, а  есть  проекция радиусоввекторов точек  прямой на направление вектора нормали.

_____

Определение Кривой второго порядка в  называется множество точек, координаты которых в какой-либо ПДСК удовлетворяют уравнению , где  одновременно.       

ЗАМЕЧАНИЕ  Уравнение окружности можно задать и в параметрическом виде 
, в чем нетрудно убедиться подстановкой в предыдущее уравнение.

Опредление Эллипс – множество точек в , сумма расстояний от каждой и которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Фиксируем ПДСК в . Обозначим сумму расстояний до фокусов , и расположим фокусы на оси симметрично относительно начала координат: .
Положим . Тогда уравнение эллипса (каноническое) будет иметь вид
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 В каноническом уравнении эллипса предполагается  ; отрезки  называются большими полуосями, а отрезки  - малыми полуосями эллипса.
Определение  Эксцентриситетом эллипса называется величина 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Если  при фиксированном , то эллипс деформируется к окружности . Если , то эллипс деформируется к отрезку .
Определение  Прямая , проходящая через точку  кривой, называется касательной к кривой в этой точке, если расстояние от переменной точки кривой до прямой стремится к нулю быстрее, чем расстояние от нее до , когда .
ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к эллипсу в точке  имеет вид .
_____
Определение Гипербола – множество точек в , модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.
ЗАМЕЧАНИЕ 1  Пусть модуль разности расстояний от текущей точки  гиперболы до фокусов  равен : .Тогда уравнение гиперболы (каноническое)  имеет вид , где .
Определение  Прямая называется асимптотой неограниченной кривой, если  расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется по кривой.
        ЗАМЕЧАНИЕ 2  Прямые  (Рис.2.13) являются асимптотами гиперболы  при .
Определение  Отрезки  называются вещественными полуосями, а отрезки  - мнимыми полуосями гиперболы. Точки  называются вершинами гиперболы.
Определение Эксцентриситетом гиперболы называется величина .
ЗАМЕЧАНИЕ 3 (геометрический смысл) Пусть  фиксировано.
а) Тогда , то есть тогда и только тогда, когда асимптоты проворачиваются вокруг начала координат к оси . При этом ветви гиперболы сжимаются к полуинтервалам , а их фокусы приближаются к вершинам.     б) ,  то есть тогда и только тогда, когда асимптоты
проворачиваются к оси . При этом ветви гиперболы разгибаются в вертикальные прямые , а фокусы удаляются в бесконечность.
ЗАМЕЧАНИЕ 4 Уравнение касательной к гиперболе  в точке  
имеет вид .