Введение в анализ
Определение Объединением множеств 
называется 
.
Определение Пересечением множеств 
называется 
.
Определение Множества 
называются непересекающимися, если 
.
Определение Разбиением множества 
называется совокупность 
попарно непересекающихся его подмножеств со свойством 
.
Определение Разностью множеств 
называется 
.
Определение Пусть дано отображение 
множества 
в множество 
. В обозначении 
называется независимой переменной величиной с областью определения 
; 
- зависимой переменной величиной с множеством значений
; 
называется областью значений отображения.
Определение Графиком отображения 
называется подмножество декартова произведения 
.
Определение Отображение 
называется инъективным (взаимно однознач ным), если она разным элементам из 
сопоставляет разные элементы из 
.
Определение Отображение 
называется сюръективным (отображением "на"), если 
.
Определение Отображение 
называется биективным (биекцией), если она инъективно и сюръективно.
ЗАМЕЧАНИЕ Биективное отображение и только такое отображение имеет обратное 
. При этом область определения последнего есть 
.
_____
Определение Множества 
называются равномощными, если существует биекция 
на 
.
Определение Мощностью конечного множества называется число его элементов.
Обозначение 
Определение Множество называется счетным, если оно равномощно множеству 
.
Определение Множество называется множеством мощности континуум, если оно равномощно множеству 
.
Определение Множество элементов называется упорядоченным, если для любых его двух элементов всегда можно сказать, что один из них предшествует другому.
ЗАМЕЧАНИЕ Если на вещественной оси выбрать начало координат и масштаб, то между множествами 
и 
можно установить взаимно однозначное соответствие (то есть они равномощны), при котором сохраняется отношение порядка. Поэтому в дальнейшем мы иногда не будем различать эти два
упорядоченных множества (точек и чисел).
Определение Множество точек 
называется ограниченым сверху
(снизу) если 
; множество ограничено, если оно
ограниченно и сверху и снизу: 
.
Определение Точной верхней (нижней) гранью множества 
называется наименьшее (наибольшее) число 
со свойствами 
.
_____
Определение Композицией отображений 
и 
называется отображение 
, определяемое по правилу 
.
Определение Преобразование 
, называется тождественным отображением.
Определение Отображение 
называется правым (левым) обратным к отображению 
, если 
.
Отображение 
называется обратным к отображению 
, если оно является и правым и левым обратным к 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Отображение 
является инъективным тогда и только тогда, когда оно имеет левое обратное отображение.
2) Отображение 
является сюръективным тогда и только тогда, когда оно имеет правое обратное отображение.
3) Отображение 
является биекцией тогда и только тогда, когда оно имеет обратное отображение.
Определение Пусть 
и 
. Сужением отображения 
на подмноже ство 
называется отображение 
определяемое по правилу
. Обозначение. 
.
_____
Определение Выражение вида 
где числа 
, называется числовой последовательностью.
Определение Последовательность 
называется ограниченной, сверху (ограниченной снизу), если она имеет верхнюю грань: 
(нижнюю грань: 
). Последовательность 
называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. В противном случае она называется неограниченной.
Определение Последовательность 
называется монотонно возрастающей (неубывающей), если 
. Аналогично определяется монотонно убывающая (невозрастающая) последовательность.
Определение Число 
называется пределом последовательности 
при 
, если 
.
Определение Последовательность 
стремится к (плюс, минус) бесконечности
при 
, если 
.
Обозначение 
(
).
Определение Последовательность, для которой существует конечный предел,
называется сходящейся. В противном случае она называется расходящейся.
Обозначение 
.
ТЕОРЕМА 1) (критерий Коши сходимости последовательности) Последователь ность 
сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальная:
.
2) Если предел последовательности существует, то он единственен.
3) Если существует предел 
, то для любой подпоследовательности 
данной последовательности 
. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
(снизу), то она является сходящейся.
Пусть 
, причем 
. Тогда справедливы следующие утверждения.
6) 
. 7) Если 
, то 
.
8) Пусть 
, Тогда 
.
9) 
. 10) 
.
11) Если 
и последовательность 
ограничена, то 
.
12) 
. 13) Если 
, то 
.
Определение Верхним (нижним) пределом последовательности 
называется такое число 
, что 
,
Обозначение 
, 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) 
. 2) 
существует тогда и только тогда, когда 
. 3) 
.4) Если 
существует и 
, то 
.
____
Определение Числовым рядом называется выражение вида 
, где 
.
Определение Обобщенный гармонический ряд 
.
Определение Ряд 
называется законоположительным (знакопостоянным),
если 
(
или 
).
Определение Ряд 
называется знакочередующимся, если 
.
Определение 
-ой частичной суммой ряда 
называется сумма 
.
Определение Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный
предел 
. Этот предел 
называется суммой ряда. Обозначение 
.
Определение Числовой ряд называется расходящимся, если 
равен 
или не существует.
ТЕОРЕМА 1) (критерии Коши) Числовой ряд 
сходится тогда и только тогда,
когда последовательность его частичных сумм 
фундаментальная, то есть
.
2) (необходимый признак сходимости) Если ряд 
сходится, то 
.
3) (достаточный признак расходимости) Если 
или не существует, то
ряд 
расходится. 4) (признак Лейбница) Если ряд 
знакочередующийся и последовательность 
монотонно стремится к нулю: 
и 
, то ряд сходится.
5) (признаки сравнения) Пусть 
. Тогда: а) если 
и 
сходится, то 
сходится; б) если 
и 
расходится, то 
расходится; в) если существует 
, то ряды 
одновременно сходятся или расходятся.
6) (признак Коши) Пусть 
. Если 
то ряд сходится 
; если 
, то он расходится; если 
, то нужны дополнительные исследования.
7) (Признак Даламбера) Пусть 
. Если 
то ряд 
сходится; если 
, то ряд расходится; если 
, то нужны дополнительные исследования.
Определение Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если ряд из модулей
сходится.
ЗАМЕЧАНИЕ Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Определение Ряд 
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд 
расходится.
_____
Определение Пусть 
. Отображение 
называется функцией одной переменной.
ЗАМЕЧАНИЕ Функция может быть задана тремя способами: таблично, аналитически (формулой) и графически.
Определение Функция 
называется монотонно возрастающей (неубывающей) на 
, если 
из 
следует 
(
).
Определение Функция 
называется монотонно убывающей (не возрастающей) на 
, если 
из 
следует 
(
)ЗАМЕЧАНИЕ Если функция 
монотонна (то есть монотонно убывает или монотонно возрастает) на 
, то на множестве значений 
существует обратная функции 
, которая также является монотонной. Обратное ,вообще говоря, неверно.
Определение Следующие 5 классов функций называются основными элементарными:
1) Степенные 
.
2) Показательные 
.
3) Логарифмические 
.
4) Тригонометрические 
.
5) Обратные тригонометрические 
.
Определение Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных с помощью конечного числа, операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и композиции.
Определение Точка 
называется предельной точкой множества 
, если в каждой 
- окрестности 
существуют точки из 
, отличные от 
.
Определение Пусть функция 
определена на
и 
- предельная точка мно
жества 
. Говорят что 
стремится к числу 
(имеет пределом число 
), когда
переменная 
стремится к числу 
, если
.
Обозначение 
или
, если 
определена на некоторой проколотой окрестности точки 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Если 
определена на множестве 
и 
, то данное определение предела совпадет с определением предела последовательности
: 
.
Определение Пусть функция 
определена на 
и 
- предельная точка
множества 
. Говорят что функция 
имеет предел 
справа (слева) в точке
, если 
.
Обозначение 
(
) или 
(
).
Определение Функция 
ограничена сверху (снизу) на множестве 
, если 
(
). Функция 
ограничена на 
, если она ограничена на нем и сверху и снизу. Функция 
ограничена при 
, если она ограничена на некоторой окрестности 
(то есть 
).
ЗАМЕЧАНИЕ Ограниченная на множестве функция будет ограниченной при 
. Обратное, вообще говоря, неверно.
ТЕОРЕМА 1) (лемма Гейне) 
.
2) Если существует 
, то он единственный.
3) Если 
монотонна и ограничена на 
, то существует конечный предел 
.
4) 
существует тогда и только тогда, когда существуют пределы функции справа и слева в этой точке и они равны.
Пусть существуют конечные пределы
. Тогда 5) 
. 6) 
.
7)
, если
. 8) Если 
, то 
_____
Определение Функция 
называется бесконечно малой (БМ) при 
, если
. Обозначение 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) 
- БМ.
2) Если 
БМ, то 
есть БМ.
3) Если 
- БМ, а 
ограниченная функция при 
, то 
есть БМ.
4) Если 
- БМ, а 
, то 
- БМ при 
.
Определение Бесконечно малая 
имеют порядок убывания не выше (выше),
чем бесконечно малая 
, если функция 
ограничена при 
(
). Обозначения 
(
).
Определение Бесконечно малые 
называется эквивалентными при 
, если 
. Обозначение 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Под знаком предела бесконечно малые множители можно заменять на эквивалентные, а бесконечно малые слагаемые, вообще говоря, нельзя.
Определение Функция 
называется бесконечно большой (ББ) при 
, если 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Функция 
есть ББ при 
тогда и только тогда, когда функция 
есть БМ при 
.
_____
Определение Функцией эн-факториал называется функция, определенная на множестве целых неотрицательных чисел по правилу 
, 
. Пусть 
, 
. Числом сочетаний из 
по 
называется величина
.
ТЕОРЕМА 
.
СЛЕДСТВИЕ Последовательность 
имеет конечный предел.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Можно доказать, что число 
иррациональное. Его обозначают буквой 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Существует 
, который называется вторым
замечательным пределом.
Определение Натуральным логарифмом числа 
называется число 
.
СЛЕДСТВИЕ 1 
. СЛЕДСТВИЕ 2 
.
СЛЕДСТВИЕ 3 
.
_____
Определение Пусть функция 
определена на 
и является предельной точкой 
. Говорят, что 
непрерывна в точке 
, если существует предел 
и он равен 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Функция 
непрерывна в точке 
тогда и только тогда, когда
где 
- приращение функции 
в точке 
.
Определение Функция 
называется непрерывной на множестве 
, если она
непрерывна в каждой точке этого множества.
ЗАМЕЧАНИЕ Элементарная функция непрерывна на каждом интервале, на котором она определена.
Определение Пусть 
и является предельной точкой. 
называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный 
и он 
.
Определение 
называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева, но они различны.
_____
Определение Точка множества 
, в которой 
достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, называется точкой максимума (минимума) функции. При этом значение функции в этой точке называется максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а максимум или минимум – экстремумом функции.
Обозначение 
.
ТЕОРЕМА (свойства непрерывных функций) 1) Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная. 2) Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная. 3) Частное непрерывных функций есть функция непрерывная в точках, где знаменатель не равен 0. 4) Композиция непрерывных функций есть функция непрерывная. 5) Непрерывная на отрезке 
функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. 6) Если 
непрерывна на 
и 
, то 
СЛЕДСТВИЕ Если 
непрерывна на 
, то
.
ЗАМЕЧАНИЕ Пусть 
монотонно возрастает (убывает) на 
. 
непрерывна на 
тогда и только тогда, когда 
(
).
Определение 
называется равномерно непрерывной на 
, если
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Равномерно непрерывная на 
функция будет непрерывной на 
. Обратное, вообще говоря, не верно. 2) Если 
непрерывна на 
, то она равномерно непрерывна на нем.
Определение Методы решения нелинейного уравнения 
, где функция 
непрерывна, называются методами нулевого порядка (методами одномерной оптимизации).
АЛГОРИТМ метода деления отрезка пополам.