Линейная алгебра и аналитическая геометрия
_____
Определение Парабола - множество точек в 
, расстояния от которых до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) совпадают.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть в какой-либо ПДСК уравнение директрисы 
, а координаты фокуса 
. Тогда уравнение параболы имеет вид 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Точка параболы 
является ближайшей к директрисе и называется вершиной параболы.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 Уравнение касательной 
к параболе 
в точке 
имеет вид 
.
ТЕОРЕМА Уравнение кривой второго порядка с помощью последовательно: преобразования поворота ПДСК вокруг начала координат, последующего сдвига ПДСК на некоторый вектор и, возможно, отражения относительно какой-то из осей координат может быть приведено к одному из простейших видов:
1) каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы; 2) уравнению пары прямых; 3) уравнению, которому удовлетворяют координаты одной точки;
4) уравнению, которому не удовлетворяют координаты ни одной точки.
_____
Определение Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Определение Квадратная матрица называется квазидиагональной, если в ней можно выделить попарно непересекающиеся квадратные матрицы, главные диагонали которых заполняют главную диагональ исходной матрицы, а все элементы вне этих матриц равны нулю.
Определение Матрица 
называется правой обратной к матрице 
, если 
. Матрица 
называется левой обратной к матрице 
, если 
.
Определение Матрица 
называется обратимой, если она имеет и правую и левую обратные матрицы.
ТЕОРЕМА 1) Обратимая матрица необходимо является квадратной. При этом ее правая и левая обратные совпадают, и потому существует обратная матрица.
2) Если 
– квадратные матрицы одного размера, то 
.
3) Квадратная матрица 
имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.
4) 
тогда и только тогда, когда 
имеет равно 
линейно независимых строк (столбцов), если последние рассматривать как векторы.
5) 
.
СЛЕДСТВИЕ 1 Если матрица 
не вырождена, то для любой квадратной матрицы 
того же размера 
.
СЛЕДСТВИЕ 2 Произведение квадратных матриц не вырождено тогда и только тогда, когда не вырождены сомножители. Это следует из равенства 
.
_____
Определение Характеристическим многочленом матрицы 
называется
многочлен 
-ой степени 
.
В поле комплексных чисел 
по теореме Гаусса он представим в виде 
, где 
- попарно различные нули 
с соответствующими кратностями 
, и 
Определение Корни характеристического многочлена 
называются собственными числами матрицы 
.
Определение Для собственного числа 
однородная СЛАУ 
является совместной, но неопределенной в силу теоремы. Ее ненулевые решения называются собственными вектора ми матрицы 
.
Определение Вещественная квадратная матрица 
называется ортогональной, если она обратима и обратная матрица совпадает с сопряженной: 
.
Определение Квадратная матрица 
над называется симметричной, если 
.
ТЕОРЕМА 1) (свойства ортогональных матриц)
а) Матрица 
ортогональна тогда и только тогда, когда ее строки
и столбцы 
ортонормированны в 
:
. При этом 
.
б) Ортогональная матрица размера 
имеет один из двух видов:
или 
. В первом случае 
, а во втором случае 
.
в) Ортогональная матрица размера 
имеет вид 
,
и ее строки являются направляющими косинусами ортонормированной системы векторов 
.
г) Собственные числа ортонормированной матрицы 
вычисляются по формулам 
, где 
.
2) (свойства симметричных матриц)
а) Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.
б) Для того, чтобы вещественная квадратная матрица 
была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы существовали ортогональная матрица 
и диагональная матрица 
со свойством: 
. При этом диагональные элементы матрицы 
являются собственными числами матрицы 
, а столбцы матрицы 
-
соответствующими собственными векторами матрица 
.
3) (структура матриц общего вида) а) (QR-разложение) Каждая невырожденная
квадратная матрица представима в виде произведения ортогональной матрицы 
и верхнетреугольной матрицы
, диагональные элементы которой положительны.
б) (полярное разложение) Каждая квадратная матрица 
представима в виде произведения ортогональной матрицы 
и симметричной матрицы 
.
в) (сингулярное разложение) Каждая матрица 
представима в виде 
, где 
, есть ортогональные матрицы, а матрица 
имеет в левом верхнем углу диагональную матрицу размера 
, а остальные ее элементы равны нулю.
_____
Определение Поверхностью второго порядка в 
называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
,
или в матричной записи 
, где 
, а симметричная
матрица 
. Эллипсоидом называется множество точек в 
с ПДСК координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Двуполостным гиперболоидом называется множествоточек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Конической поверхностью (конусом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Гиперболическим параболоидом (седлом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
Эллиптическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Гиперболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Параболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 
. Пара плоскостей 
. Прямая или точка, например, 
,где 
. Пустое множество, например, 
, где 
.
_____ Определение Движением 
-мерного евклидова пространства 
называется преобразование 
, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками: 
. ЗАМЕЧАНИЕ Движение в 
порождает преобразование на множестве векторов по правилу 
. Это преобразование сохраняет длины преобразованных векторов и углы между ними. Последнее следует из равенства треугольников 
. Перечислим элементарные движения в 
. 1) Вращение пространства 
вокруг прямой. 2) Сдвиг всех точек пространства 
на один и тот же вектор. 3) Зеркальное отражение пространства 
в какой-либо плоскости. ТЕОРЕМА 1) Пусть движение 
переводит ПДСК 
в ДПСК 
, где 
имеет координаты 
в исходной ПДСК и 
. (1)
Тогда координаты в исходной ПДСК точки 
и ее образа 
связаны равенствами 
. (2) То есть движение 
вполне определяется знанием преобразования одной ПДСК. Кроме того движение распадается на движение с неподвижной точкой 
и ортогональной матрицей 
, (3) и на последующий сдвиг пространства 
на вектор 
. 2) Движение (3) есть вращение пространства 
вокруг собственного вектора 
матрицы 
(
) и последующего отражения (в случае 
) в плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной вектору 
. 3) Пусть орты "старой" 
и "новой" 
ПДСК в 
связаны равенством 
;заданы новые координаты начала координат
; 
- координаты одной и той же точки в этих ПДСК. Тогда 
.
______ Определение Функция 
переменных 
, где коэффициенты 
, а переменные, 
, называется квадратичной формой. ЗАМЕЧАНИЕ Образуем симметричную матрицу 
называемую матрицей квадратичной формы, и матрицу переменных 
. Тогда квадратичная форма может быть записана в матричном виде 
. Определение Квадратичные формы 
называются эквивалентными, если для некоторой невырожденной матрицы 
, то есть первая преобразуется во вторую после замены переменных 
. ЗАМЕЧАНИЕ Каждая квадратичная форма 
эквивалентна канонической квадратичной форме вида 
, причем соответствующую матрицу 
можно выбрать ортогональной. ТЕОРЕМА Уравнение поверхности второго порядка с помощью преобразования поворота пространства вокруг оси, проходящей через начало координат, последу ющего сдвига его на некоторый вектор, и, возможно, вращения вокруг координат ной оси и отражения в координатной плоскости, может быть приведено к уравне нию одного из 12 перечисленных выше типов геометрических объектов в 
.
_____
Определение Суммой двух линейных операторов 
называется отображение, определяемое по правилу 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Сумма двух линейных операторов является линейным оператором.
Определение Произведением числа 
на линейный оператор 
называется отображение, определяемое по правилу: 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором.
Обозначение 
- множество всех линейных операторов из векторного пространства 
в векторное пространство 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Множество 
является векторным пространством
относительно введенных выше операций сложения и умножения на число. При этом нулевой оператор определяется по правилу: 
.
Определение Отображение 
, определяемое по правилу: 
, называется тождественным преобразованием.
ЗАМЕЧАЕНИЕ 
является линейным преобразованием.
Определение Пусть 
. Произведением (композицией) линейных операторов 
называется отображение 
, определяемое по правилу:
ЗАМЕЧАНИЕ Произведение двух линейных операторов является линейным оператором.
Определение Пусть 
- базис в 
, а 
- базис в 
. Пусть 
и 
. Тогда матрица коэффициентов 
называется матрицей оператора 
в базисах 
.
ТЕОРЕМА 1) Матрица
линейной комбинации операторов совпадает с линейной комбинацией 
матриц этих операторов.
2) Матрица произведения 
двух линейных операторов совпадает с произведением матриц 
этих операторов.
_____
Определение Множество 
называется подпространством векторного пространства 
, если 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Подпространство удовлетворяет аксиомам 1)-8) и потому само является векторным пространством.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Линейная оболочка 
является наименьшим векторным подпространством, содержащим 
.
2) Базисом в 
является максимальная совокупность линейно независимых элементов среди 
.
Определение Ядром линейного оператора 
называется множество
Образом линейного оператора 
называется множество 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Ядро и образ оператора 
являются подпространствами
соответственно в 
.
Определение Уравнение вида 
, где 
- искомый, а 
- известный элемент, называется неоднородным (однородным) линейным операторным уравнением.
Определение Элемент 
называется решением такого уравнения, если при его подстановке вместо 
, уравнение обращается в равенство.
Определение Решить уравнение это значит, найти все его решения.
Следующее понятие используется при исследовании разрешимости операторных уравнений.
Определение Рангом линейного оператора 
называется размерность образа 
этого оператора.
ТЕОРЕМА Пусть 
.
1) Разрешимость операторного уравнения 
при выделенных базисах 
равносильна разрешимости СЛАУ 
, где
.
2) Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.
3) 
. 4) Если 
- базис в ядре 
, то произвольное (общее) решение однородного операторного уравнения 
имеет вид:
, где 
.
5) Если 
- какое-либо частное решение неоднородного операторного уравнения 
, то произвольное (общее) решение этого уравнения имеет вид 
.
_____
Определение Линейные операторы 
называется соответственно правым и левым обратным к линейному оператору 
, если
.
Определение Линейный оператор 
называется обратимым, если существуют и правый и левый обратные к нему.
ЗАМЕЧАНИЕ Для обратимого оператора как и в случае матриц доказывается, что 
. Поэтому можно говорить об обратном к 
операторе 
.
Определение Линейный оператор 
называется взаимно однозначным (мономорфизмом), если он преобразует разные элементы в разные: 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
однородное уравнение 
имеет единственное (то есть нулевое) решение.
Определение Линейное отображение 
называется отображением "на" (эпиморфизмом), если 
, то есть операторное уравнение 
имеет решение в 
для каждой правой части 
.
ЗАМЕЧАНИЕ Линейное отображение 
является изоморфизмом (в соответствии с определением) тогда и только тогда, когда оно является мономорфизмом и эпиморфизмом.