Линейная алгебра и аналитическая геометрия
_____
Определение Парабола - множество точек в , расстояния от которых до заданной точки (фокуса) и до заданной прямой (директрисы) совпадают.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть в какой-либо ПДСК уравнение директрисы , а координаты фокуса
. Тогда уравнение параболы имеет вид
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Точка параболы является ближайшей к директрисе и называется вершиной параболы.
ЗАМЕЧАНИЕ 3 Уравнение касательной к параболе
в точке
имеет вид
.
ТЕОРЕМА Уравнение кривой второго порядка с помощью последовательно: преобразования поворота ПДСК вокруг начала координат, последующего сдвига ПДСК на некоторый вектор и, возможно, отражения относительно какой-то из осей координат может быть приведено к одному из простейших видов:
1) каноническому уравнению эллипса, гиперболы, параболы; 2) уравнению пары прямых; 3) уравнению, которому удовлетворяют координаты одной точки;
4) уравнению, которому не удовлетворяют координаты ни одной точки.
_____
Определение Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Определение Квадратная матрица называется квазидиагональной, если в ней можно выделить попарно непересекающиеся квадратные матрицы, главные диагонали которых заполняют главную диагональ исходной матрицы, а все элементы вне этих матриц равны нулю.
Определение Матрица называется правой обратной к матрице
, если
. Матрица
называется левой обратной к матрице
, если
.
Определение Матрица называется обратимой, если она имеет и правую и левую обратные матрицы.
ТЕОРЕМА 1) Обратимая матрица необходимо является квадратной. При этом ее правая и левая обратные совпадают, и потому существует обратная матрица.
2) Если – квадратные матрицы одного размера, то
.
3) Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.
4) тогда и только тогда, когда
имеет равно
линейно независимых строк (столбцов), если последние рассматривать как векторы.
5) .
СЛЕДСТВИЕ 1 Если матрица не вырождена, то для любой квадратной матрицы
того же размера
.
СЛЕДСТВИЕ 2 Произведение квадратных матриц не вырождено тогда и только тогда, когда не вырождены сомножители. Это следует из равенства .
_____
Определение Характеристическим многочленом матрицы называется
многочлен -ой степени
.
В поле комплексных чисел по теореме Гаусса он представим в виде
, где
- попарно различные нули
с соответствующими кратностями
, и
Определение Корни характеристического многочлена называются собственными числами матрицы
.
Определение Для собственного числа однородная СЛАУ
является совместной, но неопределенной в силу теоремы. Ее ненулевые решения называются собственными вектора ми матрицы
.
Определение Вещественная квадратная матрица называется ортогональной, если она обратима и обратная матрица совпадает с сопряженной:
.
Определение Квадратная матрица над называется симметричной, если
.
ТЕОРЕМА 1) (свойства ортогональных матриц)
а) Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее строки
и столбцы
ортонормированны в
:
. При этом
.
б) Ортогональная матрица размера имеет один из двух видов:
или
. В первом случае
, а во втором случае
.
в) Ортогональная матрица размера имеет вид
,
и ее строки являются направляющими косинусами ортонормированной системы векторов .
г) Собственные числа ортонормированной матрицы вычисляются по формулам
, где
.
2) (свойства симметричных матриц)
а) Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.
б) Для того, чтобы вещественная квадратная матрица была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы существовали ортогональная матрица
и диагональная матрица
со свойством:
. При этом диагональные элементы матрицы
являются собственными числами матрицы
, а столбцы матрицы
-
соответствующими собственными векторами матрица .
3) (структура матриц общего вида) а) (QR-разложение) Каждая невырожденная
квадратная матрица представима в виде произведения ортогональной матрицы и верхнетреугольной матрицы
, диагональные элементы которой положительны.
б) (полярное разложение) Каждая квадратная матрица представима в виде произведения ортогональной матрицы
и симметричной матрицы
.
в) (сингулярное разложение) Каждая матрица представима в виде
, где
, есть ортогональные матрицы, а матрица
имеет в левом верхнем углу диагональную матрицу размера
, а остальные ее элементы равны нулю.
_____
Определение Поверхностью второго порядка в называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида
,
или в матричной записи , где
, а симметричная
матрица . Эллипсоидом называется множество точек в
с ПДСК координаты которых удовлетворяют уравнению
. Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Двуполостным гиперболоидом называется множествоточек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Конической поверхностью (конусом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Гиперболическим параболоидом (седлом) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Эллиптическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Гиперболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Параболическим цилиндром называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
. Пара плоскостей
. Прямая или точка, например,
,где
. Пустое множество, например,
, где
.
_____ Определение Движением -мерного евклидова пространства
называется преобразование
, сохраняющее расстояние между любыми двумя точками:
. ЗАМЕЧАНИЕ Движение в
порождает преобразование на множестве векторов по правилу
. Это преобразование сохраняет длины преобразованных векторов и углы между ними. Последнее следует из равенства треугольников
. Перечислим элементарные движения в
. 1) Вращение пространства
вокруг прямой. 2) Сдвиг всех точек пространства
на один и тот же вектор. 3) Зеркальное отражение пространства
в какой-либо плоскости. ТЕОРЕМА 1) Пусть движение
переводит ПДСК
в ДПСК
, где
имеет координаты
в исходной ПДСК и
. (1)
Тогда координаты в исходной ПДСК точки и ее образа
связаны равенствами
. (2) То есть движение
вполне определяется знанием преобразования одной ПДСК. Кроме того движение распадается на движение с неподвижной точкой
и ортогональной матрицей
, (3) и на последующий сдвиг пространства
на вектор
. 2) Движение (3) есть вращение пространства
вокруг собственного вектора
матрицы
(
) и последующего отражения (в случае
) в плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярной вектору
. 3) Пусть орты "старой"
и "новой"
ПДСК в
связаны равенством
;заданы новые координаты начала координат
;
- координаты одной и той же точки в этих ПДСК. Тогда
.
______ Определение Функция переменных
, где коэффициенты
, а переменные,
, называется квадратичной формой. ЗАМЕЧАНИЕ Образуем симметричную матрицу
называемую матрицей квадратичной формы, и матрицу переменных
. Тогда квадратичная форма может быть записана в матричном виде
. Определение Квадратичные формы
называются эквивалентными, если для некоторой невырожденной матрицы
, то есть первая преобразуется во вторую после замены переменных
. ЗАМЕЧАНИЕ Каждая квадратичная форма
эквивалентна канонической квадратичной форме вида
, причем соответствующую матрицу
можно выбрать ортогональной. ТЕОРЕМА Уравнение поверхности второго порядка с помощью преобразования поворота пространства вокруг оси, проходящей через начало координат, последу ющего сдвига его на некоторый вектор, и, возможно, вращения вокруг координат ной оси и отражения в координатной плоскости, может быть приведено к уравне нию одного из 12 перечисленных выше типов геометрических объектов в
.
_____
Определение Суммой двух линейных операторов называется отображение, определяемое по правилу
.
ЗАМЕЧАНИЕ Сумма двух линейных операторов является линейным оператором.
Определение Произведением числа на линейный оператор
называется отображение, определяемое по правилу:
.
ЗАМЕЧАНИЕ Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором.
Обозначение - множество всех линейных операторов из векторного пространства
в векторное пространство
.
ЗАМЕЧАНИЕ Множество является векторным пространством
относительно введенных выше операций сложения и умножения на число. При этом нулевой оператор определяется по правилу: .
Определение Отображение , определяемое по правилу:
, называется тождественным преобразованием.
ЗАМЕЧАЕНИЕ является линейным преобразованием.
Определение Пусть . Произведением (композицией) линейных операторов
называется отображение
, определяемое по правилу:
ЗАМЕЧАНИЕ Произведение двух линейных операторов является линейным оператором.
Определение Пусть - базис в
, а
- базис в
. Пусть
и
. Тогда матрица коэффициентов
называется матрицей оператора
в базисах
.
ТЕОРЕМА 1) Матрица линейной комбинации операторов совпадает с линейной комбинацией
матриц этих операторов.
2) Матрица произведения двух линейных операторов совпадает с произведением матриц
этих операторов.
_____
Определение Множество называется подпространством векторного пространства
, если
.
ЗАМЕЧАНИЕ Подпространство удовлетворяет аксиомам 1)-8) и потому само является векторным пространством.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Линейная оболочка является наименьшим векторным подпространством, содержащим
.
2) Базисом в является максимальная совокупность линейно независимых элементов среди
.
Определение Ядром линейного оператора называется множество
Образом линейного оператора
называется множество
.
ЗАМЕЧАНИЕ Ядро и образ оператора являются подпространствами
соответственно в .
Определение Уравнение вида , где
- искомый, а
- известный элемент, называется неоднородным (однородным) линейным операторным уравнением.
Определение Элемент называется решением такого уравнения, если при его подстановке вместо
, уравнение обращается в равенство.
Определение Решить уравнение это значит, найти все его решения.
Следующее понятие используется при исследовании разрешимости операторных уравнений.
Определение Рангом линейного оператора называется размерность образа
этого оператора.
ТЕОРЕМА Пусть .
1) Разрешимость операторного уравнения при выделенных базисах
равносильна разрешимости СЛАУ
, где
.
2) Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.
3) . 4) Если
- базис в ядре
, то произвольное (общее) решение однородного операторного уравнения
имеет вид:
, где
.
5) Если - какое-либо частное решение неоднородного операторного уравнения
, то произвольное (общее) решение этого уравнения имеет вид
.
_____
Определение Линейные операторы называется соответственно правым и левым обратным к линейному оператору
, если
.
Определение Линейный оператор называется обратимым, если существуют и правый и левый обратные к нему.
ЗАМЕЧАНИЕ Для обратимого оператора как и в случае матриц доказывается, что . Поэтому можно говорить об обратном к
операторе
.
Определение Линейный оператор называется взаимно однозначным (мономорфизмом), если он преобразует разные элементы в разные:
.
ЗАМЕЧАНИЕ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда
однородное уравнение имеет единственное (то есть нулевое) решение.
Определение Линейное отображение называется отображением "на" (эпиморфизмом), если
, то есть операторное уравнение
имеет решение в
для каждой правой части
.
ЗАМЕЧАНИЕ Линейное отображение является изоморфизмом (в соответствии с определением) тогда и только тогда, когда оно является мономорфизмом и эпиморфизмом.