Цилиндрические прямозубые передачи

Геометрические параметры  эвольвентного зацепления.

П.Г Гузенков «Детали машин» §§12.2, 12.3

М.Н. Иванов «Детали машин» §8.2

Во время передачи движения зацеплением зубьев важно выполнить ряд условий, предъявляемых к ним при производстве и эксплуатации передач.

1.     Кинематическое условие – U = const

Профили зубьев передачи должны обеспечивать постоянство передаточного числа – U.

2.     Энергетическое условие.

Для обеспечения высокого К.П.Д., прочности и долговечности колес, профили должны обеспечивать малые скорости скольжения – Vск и достаточные радиусы кривизны в пятнах контакта зубьев.

3.     Технологическое условие (производственное).

Профили зубьев должны удовлетворять условию легкого изготовления, в частности нарезанию простым инструментом, независимо от числа зубьев колес.

Этим требованиям наиболее полно удовлетворяет эвольвентное зацепление.

Оно разработано Л. Эйлером в 1760 г. и нашло широкое применение в машиностроении.

Зубчатое колесо эвольвентного профиля может входить в зацепление с другими колесами того же профиля, независимо от числа зубьев колес, нарезается простым инструментом, имеющим прямолинейный профиль зубьев, удобно для контроля. Зацепление малочувствительно к отклонениям межосевого расстояния, допускает корригирование.

Геометричкские параметры зубчатого зацепления (Рис. 1.)

О₁ – О₂  – оси зубчатых колес.

а_W – межосевое расстояние.

Передаточное число зубчатой передачи определяется отношением радиусов О₂Р  и  О₁ Р.

,

где р – полюс зацепления.

Радиусы  О₂Р  и  О₁ Р принадлежат окружностям, которыми перекатываются друг по другу без скольжения начальные окружности d _W1 и  d_W2 .

Во время передачи движения зуб ведущего зубчатого колеса входит в контакт, т.е. в зацепление с зубом ведомого колеса. При относительном перекатывании зубьев точка их контакта перемешается по некоторой наклонной линии, проходящей через полюс зацепления.

Геометрическое место точек контакта зубьев сопряженных профилей, называется линией зацепления.  

В пространстве линия зацепления расположена по нормали к поверхности пятна контакта сопряженных поверхностей  зубьев.

Линия зацепления наклонена к нормали n – n, проходящей через полюс, под углом a_W , где  a_W – угол зацепления по ГОСТ 13755 – 81.

Эвольвентные  профили зубьев образованы  траекторией движения точки М, расположенной на прямой N – N обкатываемой без скольжения по окружностям с центрами О₁  и О₂ , соответственно называемыми основными окружностями  d _В1 и  d _В2.

d _В =  d_W·cosa_W .

Диаметр окружности предназначенной для определения элементов зубьев и их размеров называется делительным –  d .

d – диаметр делительной окружности.

Поверхность, отделяющая зубья от тела зубчатого колеса называется поверхностью впадин.

d f – диаметр окружностей впадин.

Поверхность,  проходящая по вершинам зубьев зубчатого колеса, называется поверхностью вершин зубьев.

d α – диаметр окружностей вершин зубьев.

Расстояние между одноименными поверхностями соседних зубьев, измеренное по дуге концентрической окружности зубчатого колеса, называется окружным шагом – р_t .

Различают делительный, начальный и другие окружные шаги зубьев.

Для косых шевронных и криволинейных зубьев кроме окружного шага различают шаг измеренный в плоскости перпендикулярной оси симметрии зуба – нормальный шаг – р_n .

р_n = р_t·cos β

где β – угол наклона зубьев по делительному диаметру; β = 8 …40⁰.

Линейная величина в π  раз меньшая окружности шага зубьев, называется модулем зубьев – m

m_t = – окружной модуль;

m_n =  – нормальный модуль.

m_n = m_t ·cos β – для косых зубьев;

m_n = m_t   – для прямых зубьев.

Модуль – m основная характеристика размеров  зубчатых и червячных колес.

Модули эвольвентных зубчатых колес стандартизованы по ГОСТ 9563 – 60.

Стандарты распространяются на цилиндрические и конические зубчатые колеса с прямыми зубьями. Они устанавливают, для цилиндрических колес значения нормальных модулей, для конических – значения внешних окружных делительных модулей.

Стандартом  ГОСТ9563-60 предусмотрено два ряда модулей m ( первый ряд считается предпочтительным), мм:

1-й ряд: …; 1,0; 1,25; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; … 100.

2-й ряд: …; 1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11; 14; 18; 22; 28; 36; 45; … 90.

При бесконечно большом числе зубчатого колеса, оно превращается в рейку, а эвольвентный профиль зуба – в прямолинейный, удобный для изготовления и измерения.

Контур профиля зубьев, полученный при Ζ ® ∞ называется исходным контуром. 

В соответствии с исходным контуром осуществляется профилирование зубьев

эвольвентного зацепления и инструмента для их нарезания.

Параметры нормального сечения зубчатых колес с модулем m ³ 1 выбираются по ГОСТ 13755-81 (Рис. 2).

Для конических зубчатых колес с прямыми зубьями ГОСТ13754 – 68.

α – угол профиля зуба, α = 20⁰;

а – а  – средняя линия;

р – шаг;

h_a – высота головки зуба, h_a = m;

h_f – высота ножки зуба,  h_f = 1,25m;

c – радиальный зазор, с = 0,25m;

h_W – высота зуба, h_W = 2,25 m.

Диаметр делительной окружности – d

πd = p·Z = π·m·Z,    где Z – число зубьев

d = m·Z

Диаметр окружности вершин зубьев

d_a = d + 2 m = mZ + 2m = m(Z + 2).

Диаметр окружности впадин

d_f = d + 2,5 m.

Коэффициент ширины зубьев – y  выбирают по ГОСТ  2185 – 55

y_ba = ;      y_bd =  ;   y_bm = .

Ширина зубчатого колеса – б определяется из вышеприведенных формул:

 Межосевое расстояние – а_W рассчитывают по формуле

а_W =.

Усилия в прямозубой передаче

При контакте сопряженных поверхностей зубьев прямозубых колес имеет место однопарное зацепление. При этом вся нагрузка передается за счет условно принятой сосредоточенной силы – F_n нормальной к пятну контакта соприкасающихся поверхностей зубьев. При контакте зубьев в полюсе зацепления трение отсутствует и усилие F_n передается без потерь энергии. Зубья перекатываются без скольжения, поэтому  F_t1= F_t2 .

Разложим нормальное усилие F_n на две составляющие:

F_t2 – окружное усилие, направленное по касательной к начальной (делительной) окружности  и

Fr₂ – радиальное усилие, направленное по радиусу к центру вращения зубчатого колеса.

Крутящий момент на ведомом зубчатом колесе создается окружной силой F_t

.. 

Т₂ = F_t2·;

Соответственно

Т₁ = F_t1·;

Радиальное усилие определяется как

.  

F_r2= F_t2·tg α .

В этих расчетах распределенная по поверхности зуба нагрузка заменяется сосредоточенной, приложенной на делительном диаметре в полюсе зацепления.

Методы нарезания зубчатых колес

При нарезании зубьев используется современный способ получения зубьев – метод обкатки, имитирующий зацепление двух зубчатых колес, одно из которых инструмент, другое заготовка. Режущий инструмент может быть выполнен в виде долбяка – Рис. 3.5, фрезы – Рис. 3.6 или рейки – Рис. 3.7. В процессе нарезания зубьев совмещены движения имитирующие зацепление зубьев и обеспечивающие резание материала. В зависимости от конструкции зубчатого колеса и степени точности зацепления применяется соответствующие инструмент и оборудование.

Расчет зубьев

цилиндрических прямозубых колес на выносливость по контактным напряжениям.

ГОСТ 21354 – 75

«Детали машин»: Решетов Д.Н. М:,Машиностроение, 1974;

Иосилевич Г.Б.  М:, Машиностроение, 1988.,  § 14.9

Из расчета на контактную прочность зубьев устанавливают размеры и массу зубчатой пары, при которых предупреждается её преждевременный выход из строя разрушения рабочих поверхностей зубьев. Основной целью расчета на контактную выносливость является предупреждение преждевременных отказов из-за развития усталостного выкрашивания поверхностного слоя зубьев. Этот же расчет используется и для передач, в которых наряду с усталостными имеются и другие виды  повреждений, например, медленно протекающее молекулярно – механическое изнашивание.

Расчет прочности контактирующих поверхностей зубьев основан на  ограничении наибольших нормальных напряжений.

При выводе формул приняты следующие допущения:

1.     Зубья рассматривают как два находящихся в контакте цилиндра с параллельными образующими ( радиусы этих цилиндров принимают равными радиусам кривизны профилей зубьев в полюсе зацепления ).

2.     Нагрузку считают равномерно распределенной по длине зуба.

3.     Контактирующие профили предполагают  неразделенными масляной пленкой.

На основании этих допущений можно применить к расчету зубчатых колес результаты исследований на контактную прочность цилиндрических роликов.

Наибольшие контактные нормальные напряжения возникают в точках, лежащих на очень малой глубине под линией контакта зубьев и могут быть определены по формуле Герца.

. 

.

Для преобразования формул в вид удобный для расчета зубчатой передачи введем в выражение параметры зубчатых колёс.

Рассмотрим однопарное  зацепление зубьев для случая их контакта по по длине зуба  в полюсе зацепления, т.е. в точке Р.( l k – длина контактной линии).

 Сила  , сжимающая зубья, считается статической, тогда условие контактной прочности примет вид:

        (1)

Обозначим

  - коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колес.

ν  – коэффициент Пуассона, для стальных деталей ν = 0,3

                                        (2)

Удельная контактная нагрузка, нормальная к поверхности зубьев и удельная окружная сила имеют следующие соотношения:

.

Приведенный модуль упругости контактирующих материалов

       При расчете на контактную прочность сделано допущение, что сила  прижатия зубьев – Fn статическая. На самом деле при работе возникают динамические добавки. Поэтому при расчетах будем  вместо удельной окружной силы  пользоваться удельной расчетной окружной силой , учитывающей изменения нагрузки.

Удельная расчетная окружная сила  складывается из удельной окружной силы q_t и некоторой дополнительной нагрузки, которая учитывается коэффициентами

 ,

где     K_α – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями;

K_β -  коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактной линии;

 K_v - коэффициент, учитывающий динамическую нагрузку, возникающую в зацеплении.

Так как ,   то  

Найдем выражение приведенного радиуса кривизны – ρ_пр через параметры зубчатых колес.

Из заштрихованного треугольника –

 .

По аналогии

 ;

.

Сделаем подстановку полученных выражений для qn  и  в формулу (2), получим

Сталь                МПа

Чугун, бронза    МПа         

В формуле 3 обозначим

Zн – коэффициент учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев.

  В формулу 3 дополнительно вводим коэффициент Zε – учитывающий суммарную длину контактных линий сопряженных зубьев.

  Длина контактных линий в зацеплении колеблется по ширине венца от 1 (в зоне однопарного зацепления) до 2  (в зоне двухпарного зацепления).

 В соответствии с результатами экспериментов можно вести расчет по

 некоторой эффективной длине контактных линий ;

 где  ε_α – коэффициент торцового перекрытия.

 Приближенно  ε_α определяется по формуле

.

Для прямозубых передач

;      ε_α = 1;    Zε = 1.

Вместо «b» в формуле 3 с учетом эффективной длины контактной линии должно стоять , при замене через ,  «b» остается под корнем.

После замены формула 3 перепишется в следующем виде:

     (4)

но:  ;    ;

;   ;       

В формуле (4) делаем подстановки d₁, d₂, b:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

Решая уравнение относительно   a_w³ и  обозначив

, получим:

.

Для стальных зубчатых колес МПа

/ мм;

Zε = 1        (ГОСТ21354-75 черт. 3. с.10)

Zн = 1,76   (ГОСТ21354-75 черт. 2. с.9)

Т₂, Н·мм;   [σ _НР], МПа, 

тогда – Ка = 49,5 (для прямозубых передач);

Межосевое расстояние а_w, мм.

Расчет коэффициента долговечности

K _НL  – коэффициент долговечности.

K_НL = ,

m = 6 – при расчете по контактным напряжениям.

  Базовое число циклов нагружения – N_Н0.

  Базовое число циклов перемены напряжений определяется по   формуле :

  при расчете по контактным напряжениям

N_НО = 30×НВ ^2,4  или N_НО = ( 1 … 12 )× 10 ⁷.

Рекомендуется принимать при термообработке:

нормализации или улучшении  N_НО = 10 ⁷ циклов, закалке  N_НО = 9× 10 ⁷ циклов.

Эквивалентное число циклов перемены напряжений

N _НE = 60× n_i × t_h × ,

где   T_i – величина   i -того момента гистограммы (см. график загрузки);

Т_H  – величина расчетного (номинального) момента;

n_i – частота вращения вала, по которому ведется расчет передачи, об/мин;

t_i  – продолжительность действия нагрузки T_i , в часах ;

t_h - общее время работы привода, рассчитывается следующим образом:

С – срок службы, лет;

t_h = С× k_cут× k_год× 365_дней× 24_часа ;

Показатель степени – mc:

При расчете по контактным напряжениям – [ s_HP  ]:   mc =3.

Коэффициент долговечности – K_НL

Расчет по контактным напряжениям – [ s_HP  ]:

Для нормализованных и улучшенных колес 1 £ К_HL £ 2,6 .

Для закаленных колес 1 £ К_HL £ 1,8 .

Расчет допускаемых контактных напряжений

 Допускаемые контактные напряжения при расчетах на выносливость определяются отдельно для зубьев шестерни и колеса с учетом термообработки и числа циклов нагружения:

           [ s_HP  ] = × Z_R ×Z_V  ,

где     S_H   – коэффициент безопасности ,

при НВ < 350    S_H =1,1;

при НВ > 350     S_H =1,2.

Z_R – коэффициент, учитывающий шероховатость рабочих поверхностей зубьев,

при  R_a =1,25...0,63    Z_R  =1  ;

Z_V   =1...1,16  – коэффициент, учитывающий влияние окружной скорости;

При V< 5 м/с    Z_V  = 1

s_hlim= _limb× K_HL   – предел контактной выносливости, соответствующий эквивалентному   числу циклов перемен напряжений (МПа);

где     _{lim b} – предел контактной выносливости, соответствующий базовому числу циклов перемен напряжений.

  При НВ < 350 (нормализация или  улучшение)

  _{lim b} = 2HB + 70

При закаленных сталях с  НВ > 350

Поверхностная закалка     _{lim b} = 17·HRC + 200

Объемная закалка             _{lim b} = 17·HRC + 100

При расчете прямозубых колес [ s_HP  ] выбирают по слабому звену.

При расчете косозубых колес отличающихся по твердости на 60 …100 НВ

 и V < 20 м /с допускаемое напряжение рассчитывают следующим образом

[ s_HP  ] = 0,5( [ s_HP1  ] + [ s_HP2  ]), или

[ s_HP  ] = 0,5( [ s_HP1  ] + [ s_HP2  ]), но £ 1,24 [ s_HP  ]_min – для цилиндрических колес.

[ s_HP  ] = 0,5( [ s_HP1  ] + [ s_HP2  ]), но £ 1,15 [ s_HP  ]_min – для конических колес.

  Расчеты на прочность с учетом кратковременных перегрузок, по σ_max

  Проверка по максимальным контактным напряжениям

s_HPmax = s_HP × £ [s_HPmax ],

где  T_max – пусковой момент,

s_HP – контактные напряжения, полученные проверочным расчетом

         или  s_HP = [s_HP ];

[s_HPmax ] – максимальные контактные напряжения.

 При нормализации, улучшении и закалке    [s_HPmax] = 2,8s_T.

Расчет цилиндрических прямозубых колес на изгиб

(«Детали машин»: Гузенков П.Г. §12.5;  Иванов М.Н. §8.6.; Иосилевич Г.Б. §14.9. )

Для учета и  процессов износа и поломки зубев разработана методика расчета зубчатых передач по напряжениям изгиба.

При выводе расчетных формул принимают следующие упрощения и допущения:

1. Зуб рассматривают как консольную балку прямоугольного сечения, работающую на изгиб.  Отличия корректируют введением теоретического коэффициента концентрации напряжений – Кт.
2. Вся нагрузка, действующая в зацеплении передается одной парой зубьев и приложена к вершине зубьев. Нагрузка равномерно распределена по длине зуба – b.

3.                 Сила трения Ff и радиальная сила Fr в расчет не вводятся, как мало влияющее на напряжения.

Определим удельную контактную нагрузку, нормальную к поверхности зубьев     

     Рассмотрим наиболее тяжелый случай нагружения зуба, когда сила Fn приложена к крайней точке консоли.

      Для вывода расчетных формул возьмем зуб единичной длины b = 1, находящийся под действием единичной (удельной) силы q_n.

      Сечение зуба – прямоугольное.

Удельную нормальную силу q_n перенесем по линии ее действия и приложим в точке О, расположенной на оси симметрии зуба на расстоянии hp от корня зуба а – а.

Получим:  h_p – расчетная высота зуба;

               S_p - расчетная ширина зуба.

;   ;    

В пределах однопарного зацепления при постоянном моменте сила в зацеплении постоянна.

Раскладывая удельную нормальную силу q_n на составляющие, получим

 и

Удельная радиальная сила  сжимает зуб, а удельная окружная сила  изгибает зуб (см. эпюры сжимающих сил и изгибающих моментов).

      В результате сложения эпюр получим, что нерабочая сторона зуба нагружена больше чем рабочая, однако усталостные трещины возникают на растянутых волокнах (рабочей стороне зуба).

Номинальные опасные напряжения будут

Излом происходит по сечению а – а

Напряжения, определяющие прочность зуба на изгиб на растянутых волокнах с учетом концентрации напряжений

.

Переходя к единичным нагрузкам для сечения зуба толщиной b = 1, получим:

;

где ;

       ;

       ;  b = 1,   и c – коэффициенты пропорциональности.

Делаем подстановку    .

Учитывая реальную нагрузку можем записать

.

.

,

где     YF =  .  (1)

YF – коэффициент формулы зуба (безразмерная величина)

,

но   ; ; ;

Получим формулу проверочного расчета зубьев на изгиб

 .

.

 – формула для проектировочного расчета на изгиб.

 Для расчета по колесу делаем замену .

Полученный расчетом модуль следует округлить до ближайшего большего стандартного значения по ГОСТ9563 – 60 (СТ СЭВ310 – 76).

При этом следует учитывать, что колеса с малым модулем предпочтительны по условиям плавности хода и экономичности, однако крупномодульные колеса менее чувствительны к перегрузкам, неоднородности материала и погрешности изготовления. Поэтому для силовых передач принимать m ≤ 2 не рекомендуется.

Для улучшенных колес

Для закаленных

Большие значения принимают при значительных перегрузках.

Подрезание зубьев.

        Из формулы (1) следует, что Y_F безразмерный коэффициент, значения которого зависят только от формы зуба  и в том числе от формы его галтели (коэффициент К_Т).

  Форма зуба, при одинаковом исходном контуре инструмента, в основном зависит от числа зубьев колеса Z, если зубья нарезаны при коэффициенте смешения инструмента X = 0.

На рис. 2 показано изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес, нарезанных без смещения с постоянным модулем. При Z ∞  колесо превращается в рейку, и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением Z уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличивается кривизна эвольвентного профиля. Такое из­менение формы приводит к уменьшению прочности зуба. При даль­нейшем уменьшении Z появляется подрезание ножки зуба (штриховая линия на рис.2), прочность зуба существенно снижается. При на­резании инструментом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания  Z_min = 17. Для улучшения профиля

зубьев эвольвентного зацепления их нарезают  со смещением инструмента.

       Конструирование зубчатой передачи проводят по параметрам слабого звена, которое определяют следующим образом.

Принимая во внимание, что зубья шестерни испытывают по сравнению с колесом большее число циклов нагружения, схему расчета выбирают следующим образом.

Если материал колес одинаковый, то расчет ведут по шестерне, т. к. она имеет более тонкий зуб у основания и является слабым звеном передачи.

Если материал шестерни более прочен, рассчитывают модули шестерни и колеса, а затем по большему из двух выбирают стандартное значение модуля.

Слабое звено передачи, кроме этого, можно определить по меньшему отношению для шестерни и колеса – .

Целесообразно материалы выбирать при условии .

Допускаемые напряжения изгиба  выбирают в зависимости от предела выносливости при изгибе

.

где  - предел выносливости зубьев при изгибе; соответствует базовому числу циклов напряжений;

 - коэффициент долговечности;

 - коэффициент, учитывающий влияние двустороннего приложения нагрузки.

 - коэффициент безопасности

 (большие значения для литых заготовок).

Нормализация или улучшение

Объемная закалка МПа

Поверхностная закалка МПа

; где

 циклов

 при HB ≤ 350

 при HB > 350

Расчет на прочность при изгибе максимальной нагрузкой

При действии кратковременных перегрузок зубья проверяют на пластическую деформацию или хрупкий излом.

.

 - коэффициент безопасности

 - для углеродных нормализованных и улучшенных сталей

 - для закаленных сталей, где HB – твердость сердцевины.

При HB ≤ 350,   (при растяжении)

При HB > 350,   (при растяжении)

Последовательность расчета зубчатых передач

1. Выбор материала
2. Расчет допускаемых напряжений
3. Расчет межосевого расстояния по
4. Проверка по максимальным
5. Расчет модуля (ГОСТ)
6. Проверочный расчет на изгиб
7. Расчет по
8. Расчет геометрических параметров зубчатого колеса
9. Расчет сил в зацеплении
10. Конструирование зубчатых колес. Литые, кованые, сварные, сборные.

Зубчатая передача

Встречаясь в заданном пространстве,

Зуб в эвольвентовом убранстве

Своей рабочей стороной

Проходит по дуге – дорожке

Катясь от верха и до ножки,

Давя соседа без смущения,

Передает ему вращение.

При этом он не возмущается,

Хотя все время разрушается,

Противодействуя нагрузкам,

Лет пять уверенно трудясь.

Зуб изгибаясь, истирается,

Это износом называется,

При этом ножка утончается

Расчет проводят на изгиб.

А на поверхности блестящей

Знак катастрофы предстоящей

– Следы, похожие на оспу

От смазкой вырванных частиц.

Чтобы уменьшить разрушение

Здесь по контактным напряжениям

Его положено считать.