Миноры и алгебраические дополнения

Обозначим через матрицу, которая получается путем вычеркивания -ой строки и -го столбца матрицы . Тогда называется минором элемента . Величина называется алгебраическим дополнением элемента .

Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.

Теорема. Определитель каждой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. при разложении по элементам -ой строки

Для вычисления значений определителей матриц второго порядка пользуются формулой:

Для вычисления значений определителей матриц третьего порядка можно воспользоваться формулой разложения определителя по первой строке:

Вернемся к системам линейных уравнений. Очевидно, система линейных уравнений

будет совместной тогда и только тогда, когда в процессе решения этой системы методом Гаусса мы не получим систему, содержащую противоречивое уравнение. Этот критерий не дает возможности сформулировать условие совместности системы при помощи коэффициентов и свободных членов системы уравнений. Однако этого недостатка лишен критерий совместности, который содержится в теореме, носящей название теоремы Кронекера—Капелли.

Для начала дадим несколько определений.

Определение. Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Как правило, ее обозначают буквой :

Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, дополненная справа столбцом свободных членов. Как правило, ее обозначают буквой :

Определение. Минором -го порядка матрицы называется определитель, полученный выбором элементов, стоящих на пересечении каких-либо строк и каких-либо столбцов данной матрицы.

Определение. Минорным рангом матрицы называется величина, равная максимальному порядку минора матрицы , отличного от нуля, и обозначается .

Например, запись означает, что среди миноров 5-го порядка матрицы есть минор, отличный от нуля, а все миноры более высоких порядков (если таковые имеются) равны нулю.

Данное правило отыскания рангов связано с вычислительными неудобствами. Удобнее пользоваться другим методом вычисления ранга матрицы. А именно:

Определение. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли. Необходимым и достаточным условием совместности системы уравнений является равенство рангов матриц и

,

причем, если , где -число неизвестных, то система имеет единственное решение, если , то система имеет бесчисленное множество решений.

Если ранг матрицы больше ранга матрицы , то система несовместна.