Все неплоские линейчатые поверхности можно разделить на четыре группы:
Линейчатые поверхности с тремя направляющими
. У этих поверхностей прямолинейная образующая пересекается с тремя направляющими линиями.Линейчатые поверхности с двумя направляющими
. У таких поверхностей прямолинейная образующая в каждом своем положении пересекает две направляющие линии и определенным образом ориентирована по отношению к третьему направляющему элементу - плоскости или другой поверхности.Линейчатые поверхности с одной направляющей линией
- торсовые.Линейчатые поверхности вращения
.
Общим
для трех групп является условие пересечения прямолинейной образующей с направляющими линиями.
Формула определителя поверхности с тремя направляющими:
А (( li, a, b, d) : li З a , b, d)
В зависимости от типа направляющих линий различают: Поверхность
общего вида
1.
Рис. 135
|
Аудио-комментарии |
Чтобы построить образующую такой поверхности на одной из направляющих берут произвольную точку. Из этой точки проводят пучок прямых линий. И та из прямых, которая удовлетворяет условию пересечения со всеми тремя направляющими, является образующей данной поверхности.
Рис. 136
Следует отметить, что третья направляющая таких поверхностей должна
располагаться в зоне досягаемости образующих, которые пересекают две
направляющие. Эта зона называется областью конгруэнции
(досягаемости) двух других направляющих. Так на рис. 136 каждая из трех
кривых не погружена в область конгруэнции двух других направляющих. Поэтому эти
кривые линии не могут составлять графический определитель поверхности общего
вида (косого цилиндра).
На рис. 137 дано наглядное изображение отсека поверхности общего вида ( косого цилиндра ). Линией пассивного обреза у нее являются образующие l1 и l2, за пределами которых данная поверхность не может существовать.
Рис. 137
Направляющие а, b и d являются линиями активного обреза. Очевидно любая линия, которая пересекает все образующие, может являться направляющей. Поэтому возможно перезадание направляющих.
Кривая линия g (сиреневая) является очерковой огибающей.
2. У дважды косого цилиндроида две направляющие - кривые, одна - прямая (рис. 138). На рис. 139 приведен пример применения дважды косого цилиндроида при конструировании крыла летательного аппарата, а на рис. 140 - в архитектуре и строительстве при возведении косого свода (косого проема), впервые применённого в построении подземных переходов в монастырях, а в настоящее время широко используемого в строительстве переходов в метрополитенах.
Рис. 138
Рис. 139
(Открыть в своём проигрывателе)
Вид.20
Рис. 140
3. У дважды косого коноида одна направляющая кривая, две другие - скрещивающиеся прямые линии (рис. 141). Каркас такой поверхности применяется при возведении временных сооружений.
Рис. 141
4. Все три направляющие - скрещивающиеся прямые линии, составляют задающие элементы определителя однополостного гиперболоида. Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью: через любую его точку можно провести две прямые : одну из семейства образующих, вторую из семейства направляющих. Это явление объясняется тем, что в трех положениях образующая составляет три скрещивающиеся прямые, которые могут представлять три направляющие того же однополостного гиперболоида (рис. 142).
У однополостного гиперболоида нет ограничений областью конгруэнции, так как любые три скрещивающиеся прямые можно где-то пересечь прямой. По сравнению с рис. 135 благодаря тому, что одна из направляющих - d, является проецирующей, построение проекций новой образующей упрощается: достаточно из любой точки на прямой а провести прямолинейную образующую через вырожденную в точку проекцию прямой d и продолжить её до пересечения с фронтальной проекцией прямой b.
Рис. 142
Имеется три разновидности однополостного гиперболоида, название которого зависит от вида стрикционной линии. Стрикционная линия - линия сужения, объединяющая ближайшие точки соседних образующих. В общем случае расположения направляющих - трех прямых линий, ими определяется эллиптический однополостный гиперболоид, у которого стрикционная линия - эллипс (рис. 143, 144).
 |
 |
|
Рис. 143
|
Рис. 144
|
Если стрикционная линия - окружность, а такое случается при условии, когда все образующие одинаково наклонены к плоскости стрикционной линии, то движением образующей формируется однополостный гиперболоид вращения. Более подробно мы познакомимся с этой поверхностью в разделе "Линейчатые поверхности вращения".
)
Может оказаться, что три направляющие окажутся параллельными одной плоскости. Тогда они составят задающие элементы определителя однополостного гиперболоида, у которого стрикционная линия - парабола , точнее две пересекающиеся в одной точке параболы. Определитель такой поверхности может состоять из двух направляющих линий и плоскости, которой должны быть параллельны все образующие. Эту плоскость называют плоскостью параллелизма . Следует отметить, что у каждого семейства есть своя стрикционная линия. Такой однополостный гиперболоид в литературе имеет различные названия: гиперболический параболоид, сокращенно - гипар , косая плоскость , неплоский четырехугольник . Однако , правильнее называть параболический гиперболоид по названию его стрикционной линии.
Рис. 147 |
 Рис. 148 |
У однополостных гиперболоидов все линии обреза активные, потому что, как и плоскость, они бесконечны в стороны продолжения образующих. Следует отметить, что всякая прямая одного семейства пересекает все прямые второго семейства.
На рис. 147 даны аксонометрическая и вторичная проекции отсека гипара, ограниченного линиями активного обреза - двумя ветвями гиперболы, которые расположены в горизонтальной плоскости, и двумя параболами. Из этого отсека приподнят фрагмент, линиями обреза которого являются прямые разных семейств. Такой фрагмент называют паркетиной. На рис. 148 показаны возможные сечения гипара по гиперболам и двум прямым, которые являются асимптотами. А на рис. 149 показаны возможные параболические сечения гипара плоскостями, которые параллельны плоскостям стрикционных парабол.
Рис. 149
На рис. 148-149 представлены сечения гипара по 2-м прямым, параболам, по двум
ветвям гиперболы. А что же такое сечение? Сечением называется линия (линии), получаемая
(получаемые) при пересечении поверхности плоскостью.
Как было показано - условие пересечения трех направляющих обеспечивает единственное положение прямолинейной образующей, которая проходит через одну точку поверхности.
У линейчатых поверхностей с двумя направляющими линиями роль третьего ограничителя выполняет плоскость, с которой прямолинейная образующая составляет угол постоянного или переменного значения. Формула определителя такой поверхности:
Разновидность этого класса поверхностей составляют: косой цилиндроид , у которого две направляющие кривые линии; косой коноид , у которого одна направляющая - прямая, вторая - кривая; дважды косая плоскость, у которого обе направляющие - прямые линии.
Поверхности Каталана
Цилиндроид
Рис. 151
(Открыть в своём проигрывателе)
Вид.21
Рассмотрим решение задачи о принадлежности точек поверхности цилиндроида, который задан на рис. 154 графическим определителем. Графический определитель состоит из пространственной кривой а , плоской кривой b и горизонтально проецирующей плоскости D .
Рис. 154
|
Аудио-комментарии |
Требуется:
Определить, принадлежит ли заданной поверхности произвольная точка пространства Р ?
Построить недостающие проекции точек М и N , которые принадлежат заданному цилиндроиду.
Решение:
Руководствуясь определителем цилиндроида считаем, что носителем точки Р может быть образующая, горизонтальная проекция которой (зеленая) параллельна следу плоскости параллелизма. Фронтальные проекции зеленой образующей не содержат P2. Следовательно, точка Р не принадлежит заданному цилиндроиду.
Для определения недостающей проекции точки М строим синим цветом горизонтальную проекцию ее носителя. Искомая М2 принадлежит фронтальной проекции синей образующей.
В отличие от предыдущих точек сразу выявить носитель точки N на фронтальной проекции невозможно, потому что направляющяя плоскость параллелизма является горизонтально-проецирующей и представлена горизонтальным следом. Для получения решения исследуют область существования точки N построением множества образующих этой поверхности постепенно сужая зону поиска до тех пор пока фронтальная проекция точки N не окажется на одной из них. Так выявляют носитель точки, заданной проекцией, разноименной со следом плоскости параллелизма. Построение множества образующих при исследовании области существования точки N в данном случае безусловно следует начинать с горизонтальной проекции, так как плоскость параллелизма - горизонтально-проецирующая и ее след горизонтальный.
У коноида одна из двух направляющих - прямая, вторая - кривая. Пример графического определителя коноида приведен на рис. 156, а на рис. 157 показаны аксонометрическая и вторичная проекции коноида.
Рис. 156
(Открыть в своём проигрывателе)
Вид.22
Алгоритм решения задач о принадлежности точки поверхности коноида аналогичен алгоритму решения этой задачи с поверхностью цилиндроида.
Коноиды широко применяются в технике при изготовлении диффузоров систем вентиляции, в литейных корпусных деталях, в гидротехнических сооружениях мостовых опор, в кораблестроении при конструировании носов ледоколов и судов, корпусов глиссирующих лодок и теплоходов на воздушных крыльях, при конструировании поверхностей летательных аппаратов, в сельскохозяйственном машиностроении при конструировании поверхностей плугов, различного рода шнеков и любых винтовых деталей.
Рис. 159
(Открыть в своём проигрывателе)
Вид.23
|
Аудио-комментарии |
Гипар
тоже относится к поверхностям Каталана. На рис. 159 гипар построен инженерным способом - делением отрезков направляющих на произвольное, но равное число частей.Точки деления соединяют попарно. Полученная поверхность называется неплоским четырехугольником . Неплоский квадрат построен на рис. 159. Плоскости параллелизма двух семейств прямых у него взаимно перпендикулярны, а стрикционные линии - одинаковые параболы (голубая и оранжевая), пересекающиеся в своих вершинах . Плоскости стрикционных парабол также взаимно перпендикулярны.
Посмотрите внимательно на рис. 159-а: когда мы смотрим на фронтальную проекцию, то есть прямо, мы видим нижнюю часть поверхности (синюю). Если же мы посмотрим на поверхность слева, то увидим верхнюю часть поверхности, также как на виде сверху (жёлтую). Представьте, что вы едете на автомобиле прямо под арку-гипар. Вам видна её нижняя синяя часть, а вот лётчик, пролетая над ней, видит сверху жёлтую, меняющую свои очертания, поверхность. Но вот если вы посмотрите на эту поверхность по стрелке, то увидите два треугольника, один из которых представляет поверхность снизу , окрашенную в синий цвет, а другой - сверху, окрашенный в жёлтый цвет. Убедитесь, что проекции стрикционных парабол либо парабола, либо прямая, когда плоскость параболы перпендикулярна плоскости проекций. Проследите, например, за проекциями верхней стрикционной параболы голубого цвета.
Рис. 159-а
Поверхности гипара используют в дорожном строительстве при возведении насыпей дамб, железных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах стыковки откосов, которые различно склонны к горизонту. Поверхности гипара легко паркетируются - разбиваются на плоские фрагменты. Поэтому поверхность гипара применяют в каркасных оболочках зданий с большими пролетами, у которых паркетины изготавливаются из пластмасс, стекла.
Формула определителя поверхности Каталана:
В (( li , a, b, D ) : li З a, b; li || D ).Все описанные поверхности с двумя и тремя направляющими относятся к неразвертывающимся. К развертывающимся относятся поверхности, которые можно совместить с плоскостью без складок и разрывов.
Торс - это линейчатая поверхность с одной направляющей линией - пространственной кривой. Единственное и неповторимое решение положение прямолинейной образующей, проходящей через некоторую точку этой поверхности, обеспечивается условием касания образующей пространственной криволинейной направляющей. Таким образом условие касания в определителе торса заменяет условие пересечения с двумя направляющими.
Точка касания разбивает образующую прямую на две полупрямые. Множество положений касательной формирует двуполостную поверхность (рис. 172). Каждая полупрямая при движении формирует свою полость. Две полости контактируют по направляющей линии, которую называют ребром возврата . Если рассечь торс плоскостью, то в сечении получим кривую с точкой возврата первого рода . Линия пересечения всех образующих всегда кривая.
(Открыть в своём проигрывателе)
Рис. 172 Вид.24Графический определитель торса состоит из проекций направляющей. Этого достаточно, чтобы решать задачу принадлежности точки торсу, потому что касательная к кривой проецируется в касательную к проекции кривой. Формула определителя торса:
Т (( li , а) : li И a)
|
|
На рис. 178 рассмотрена задача о принадлежности точки Р поверхности торса: построены недостающие проекции точек N и М . Графический анализ показывает невозможность построения касательной к кривой g, которая составляет определитель торса, через любую из проекций точки Р . Это явление свидетельствует о том, что точка Р не погружена в область конгруэнции торса. Поэтому точка Р не может принадлежать заданной поверхности. Через М2 можно провести две полукасательные, которые расположены в разных полостях торса. Поэтому задача имеет два решения, так как в условии задачи не оговорена видимость точки М на горизонтальной проекции. Для точки N можно определить в качестве носителя только одну полукасательную, поэтому задача имеет только одно решение. |
|
|
|
Коническая поверхность является частным случаем торсовой. Проследим ее формирование из торса. Для этого представим, что у некоторого торса с активной линией обреза (она всегда у торса кривая) ребро возврата сжалось в точку. Тогда все прямолинейные образующие пересекают линию активного обреза и проходят через вырожденное в точку ребро возврата. В этом случае роль криволинейной направляющей, которая обеспечивает множество положений образующей, выполняет линия активного обреза. Вырожденное в точку ребро превратилось в вершину (рис. 160). Вершина и криволинейная направляющая составляют направляющие элементы конической поверхности (рис. 161, 164). |
Если криволинейная направляющая - замкнутая кривая, то вместе с вершиной она составляет направляющие элементы конуса (рис. 163, 164). Коническая поверхность также, как и торс, является двуполостной (рис 160).
|
|
|
|
|
Рис. 160 |
Рис. 163 |
Рис. 164 |
Если направляющая поверхности ломаная, то вместе с вершиной она составляет направляющие элементы пирамидальной поверхности (рис. 165, 166) или пирамиды (рис. 167).
Рис. 165
|
Рис. 166 |
Рис. 167 |
Все виды конических и пирамидальных поверхностей можно отнести к центрально-организованным. Ярким примером в теории начертательной геометрии применение конической поверхности в качестве центрально-организованной является центральное проецирование, его второе название - коническое.
Цилиндрическая поверхность
Рис. 168
Цилиндрическую поверхность можно рассматривать так же как частный случай косого цилиндра, у которого все три направляющие конгруэнтные и эквидистантно расположенные в пространстве кривые а, b, d. При таком расположении трех кривых направляющих все образующие будут взаимно параллельными.
Направляющими элементами определителя цилиндрической поверхности являются криволинейная направляющая и прямая параллелизма. Таким образом прямая параллелизма заменяет либо условие пересечения с двумя направляющими линиями, либо две плоскости параллелизма.
Если направляющая линия замкнутая, то она, при описанных выше условиях, входит в определитель цилиндра.
Если направляющая линия - ломаная, то она определяет призматическую поверхность (рис. 170), если ломаная линия замкнутая - то призму (рис. 171).
 Рис. 170 |
 Рис. 171 |
Цилиндрические и призматические поверхности можно отнести к параллельно-организованным.
Все торсовые поверхности развертываемые!
На практике вопрос о принадлежности точки поверхности приходится решать по основному чертежу поверхности или ее отсека, на котором кроме элементов графического определителя даны линии обреза, линии очерка и очерковые линии. Подчас на основном чертеже не всегда заданы элементы графического определителя поверхности. Указанные линии основного чертежа, которые дополняют графический определитель, сужают область существования точки на поверхности. Решение задачи о принадлежности точки заданной основным чертежом поверхности следует начинать с выделения графического определителя, что дает возможность выявить носитель заданной точки - образующую заданной поверхности.
Пример: Дан основной чертеж отсека конуса (рис. 179). На его поверхности расположены точки А и В (чёрным цветом). Требуется построить их недостающие проекции.
Задание поверхности основным чертежом регламентирует видимость заданных проекций точек.
Решение задачи начинаем с выделения на основном чертеже красным цветом направляющих элементов конуса - вершины и направляющей кривой (рис. 180).
|
Рис. 179 |
Рис. 180 |
Определяем носители точек А и В . Ими считаем прямолинейные образующие конуса. Образующая конуса всегда проходит через вершину. Поэтому соединяем S2 c А2 . Это фронтальная проекция образующей - носителя точки А на поверхности конуса. Чтобы построить ее горизонтальную проекцию определяем служебную точку 1 . Для этого продолжаем проекцию S2A2 до пересечения с фронтальной проекцией направляющей в точке 12 . Она расположена на нижней ветви кривой а, поэтому проекция 11 невидима, тогда и проекция носителя точки А1 - S111 будет невидимой. Следовательно и А1 невидима.
При определении недостающей проекции точки В выполняем те же построения в обратном порядке. Так как В1 видима, то видима и проекция служебной точки 21 . Значит 22 находится на верхней ветви направляющей, S222 видима, следовательно, N2 тоже видима.
На рис. 177 решена задача о принадлежности точек Р , Q , М конической поверхности, которая задана на чертеже графическим определителем. Построения показывают, что точка Р не принадлежит заданной поверхности, так как ее горизонтальная проекция не погружена в конгруэнцию поверхности. Для точек Q и М определяем носителями образующие S-1 и S-2 .
Рис. 177
|
Аудио-комментарии |
|
Аудио-комментарии |
На рис. 181, 182 построены недостающие проекции точек, которые лежат на поверхностях пирамиды и цилиндра.
|
Рис. 181 |
Рис. 182 |
Для закрепления изучаемого материала решите задачи: №45 и №46(4), №46(6), №46(7)
Вопросы для самопроверки:
1. В чем состоит кинематический способ задания линейчатых поверхностей?
2. Какие поверхности относят к линейчатым?
3. Можно ли называть поверхность общего вида косым цилиндром?
4. Какие направляющие у косого цилиндра?
5. Что такое зона конгруэнтности?
6. Чем отличается дважды косой цилиндроид от дважды косого коноида?
7. Как упростить поиск недостающей проекции точки у однополостного гиперболоида?
8. Какие существуют однополостные гиперболоиды?
9. Что такое стрикционная линия?
10. Какой тип у стрикционной линии параболического гиперболоида?
11. По каким линиям можно пересечь плоскостью параболический гиперболоид?
12. Сколько направляющих линий у поверхностей Каталана?
13. У каких поверхностей в качестве третьего направляющего элемента используется плоскость параллелизма?
14. Какая стрикционная линия у неплоского квадрата?
15. У какой линейчатой поверхности одна направляющая и какое условие ее образования заменяет две направляющие линии?
16. Сколько полостей у торса?
17. Какие поверхности относят к торсовым?
18. Какое уникальное свойство торсовых поверхностей?
