У любой поверхности вращения при движении каждая точка вращается по своей окружности, которую называют параллель . Самая большая среди ближайших параллель называется экватором , самая маленькая - горлом (рис. 185). У поверхности может быть несколько горл и экваторов. У некоторых поверхностей вращения горло может выродиться в точку. Например, у сферы, конуса, эллипсоида вращения. Экватор может совпадать с линией активного обреза. Например, у конуса, однополостного гиперболоида вращения, параболоида вращения и т.д.

                                                                                                                                      (Открыть в своём проигрывателе)
                                        Рис. 185                                                                                                                           Вид. 13

Плоскость, которая проходит через ось вращения, рассекает поверхность вращения по меридиану . Если эта плоскость параллельна плоскости проекций, то меридиан проецируется без искажения. Такой меридиан называется главным.

Среди множества поверхностей вращения в технике нашли широкое применение те, у которых образующая - прямая, то есть линейчатые поверхности вращения: конус, цилиндр. однополостный гиперболоид вращения (см рис 189, 191, 193, 193-а), а также те, у которых меридиан окружность или ее часть, кривая второго порядка. Название последних определяется названием кривой: параболоид вращения (рис. 187), эллипсоид вращения (рис. 186-a, 186-б), гиперболоид вращения двуполостный (рис. 188). У двуполостного гиперболоида вращения ось вращения совпадает с действительной осью гиперболы, а у однополостного (рис 193-a)- с мнимой.

Рис. 187	Рис. 186-а	Рис. 188-а
Рис. 186-б

  (Открыть в своём проигрывателе)                                      (Открыть в своём проигрывателе)

Вид. 14                                                                                                        Вид.15

  (Открыть в своём проигрывателе)

Вид. 16  

Линейчатые поверхности вращения

Геометрическая часть определителя линейчатых поверхностей содержит прямолинейную образующую и ось вращения, алгоритмическая - закон движения (вращения) образующей и информацию об относительном положении образующей и оси. В зависимости от последнего условия могут сформироваться три линейчатые поверхности вращения.

1. Двуполостный конус вращения в случае, когда ось и образующая пересекаются (рис. 189). Если образующая перпендикулярна оси, то при своем вращении она сформирует плоскость.

   Q ((lⁱ , j, S) : lⁱ j = S ; (lⁱ ^ j) = const)

2. Цилиндр вращения , если ось и образующая параллельны (рис. 191).

   Q ((lⁱ , j) : lⁱ j ; lⁱ || j ; [ lⁱ , j ] = const)

Невозможно перечислить все примеры применения поверхностей конусов и цилиндров вращения, так как это самые технологические после плоскости поверхности. Из всех поверхностей вращения только они являются развертывающимися.

3. Однополостный гиперболоид вращения , если ось вращения и прямолинейная образующая - скрещивающиеся прямые (рис. 193). Если при этом они окажутся взаимно перпендикулярными, то при вращении образующая сформирует плоскость с круглым отверстием . Этот экстремальный случай следует помнить при написании программы для машинной графики.

X ((lⁱ , j) : lⁱ j ; lⁱ И j ; [ lⁱ, j ] = const)

На рис. 194 представлено построение основного чертежа однополостного гиперболоида вращения, ось которого горизонтально-проецирующая прямая, образующая - отрезок общего положения.

Рис. 194-а Аудио-комментарии (Открыть в своём проигрывателе)	Рис. 194-б Аудио-комментарии (Открыть в своём проигрывателе)

Проведём построения.

Определим радиус горла. Ближайшая к оси точка на образующей определяется на горизонтальной проекции, на которую ось спроецировалась в точку - j₁. Очевидно, горизонтальные проекции центров всех параллелей совпадут с j₁. Поэтому из j₁ проводим прямую, перпендикулярную к проекции образующей А₁В₁ до пересечения в точке 1₁. Окружность радиусом j₁ - 1₁ является горизонтальной проекцией горла. С помощью вертикальной линии связи на А₂В₂ находим 1₂. На высоте точки 1₂ располагается горло. Проводим горизонтальную линию через 1₂ и на ней от оси откладываем по обе стороны отрезок, равный радиусу горла ( на чертеже горло изображено красным цветом).

Для построения верхнего граничного экватора, содержащего точку В, проводим окружность радиусом j₁ - В₁ (оранжевым цветом)- что является горизонтальной проекцией экватора с точкой В, и на высоте В₂ от проекции оси j₂ откладываем по обе стороны отрезки, равные радиусу экватора с точкой В. Анализируя горизонтальную проекцию., устанавливаем: оранжевая параллель пересекает АВ ещё и в точке 2₁. Безусловно, по другую сторону по вертикали от горла должна симметрично относительно него располагаться ещё одна параллель. Её высоту можно определить двояко - пользуясь симметрией относительно плоскости горла или с помощью проекции 2₂ на А₂В₂. Для определения проекций нижнего граничного экватора, содержащего точку А, проводим аналогичные построения тёмно-зелёным цветом.

Построение промежуточных параллелей рассмотрим на примере зелёной, содержащей точки 3 и 4. Радиус этой параллели несколько больше радиуса горла. Горизонтальная проекция зелёной параллели пересекает горизонтальную проекцию образующей А₁В₁ в точках 3₁ и 4₁. С помощью вертикальных линий связи определяем проекции 3₂ и 4₂ на А₂В₂. Как видим, по высоте они симметричны относительно плоскости горла. Теперь на уровне проекций 3₂ и 4₂ строим вырожденные проекции зелёных параллелей. Выполняя подобные построения синим и сиреневым цветом получим фронтальные проекции очерковых точек на уровне параллелей точек 5₂ , 6₂ и 7₂ . Соединяем проекции очерковых точек плавными кривыми, получаем проекции ветвей гиперболы.

Посмотрите внимательно на голубые образующие, проведённые касательно к горлу на горизонтальной проекции. Их фронтальные проекции являются асимптотами построенных гипербол. А то, что они симметричны объясняется свойством однополостных гиперболоидов: эти поверхности дважды линейчатые.

На рис. 194-б представлен основной чертёж построенного гиперболоида вращения. Если считать, что его оболочка снаружи жёлтая, а внутри зелёная, то очевиден просвет горла на горизонтальной проекции.

На рис. 195 приведены построения недостающих проекций точек, принадлежащих построенной нами поверхности однополостного гиперболоида вращения, заданного графическим определителем.

Рис. 195

Однополостные гиперболоиды вращения применяются в строительстве радиомачт, градирен, водонапорных башен, в зубчатых и фрикционных передачах в механизмах, оси которых скрещиваются. Так первая радиомачта в Москве в Шаболовке была построена инженером Шуховым в 1926 году из отсеков, подобных построенному нами с убывающими вверх радиусами оснований.

Торовые поверхности вращения

Если вокруг прямой оси вращать окружность, расположенную с ней в одной плоскости, то сформируется торовая поверхность или как частный случай - сфера . Торы бывают: открытый тор или кольцо (рис. 196 - 199);

Открытый тор

(Открыть в своём проигрывателе)
Вид. 25

На рис. 196 представлен графический определитель открытого тора - кольца. На рис. 197 выполнено построение недостающих проекций точек , лежащих на поверхности кольца, заданного графическим определителем.

Рис. 196

Рис. 197

У открытого кольца экватор и горло находятся на одном уровне с круговой осью - траектории перемещения центра образующей окружности. Экватор - самая большая внешняя параллель тора , горло - самая маленькая внутренняя.

Рис. 198

Рис. 199

На рис. 198 представлены точки, лежащие на особых параллелях кольца: зеленым цветом показаны горло и экватор, красным - опорные паралели, по которым кольцо можно совместить с плоскостью

На рис. 199 выполнено построение недостающих проекций точек, принадлежащих поверхности открытого тора на основном чертеже.

В качестве носителей точек на поверхностях вращения выбирают параллели, которые на одну из плоскостей проекций проецируются без искажения. Принадлежность точки торовой поверхности можно установить как по основному чертежу (рис. 198, 199, 202, 205, 207 - 209), так и по графическому определителю (рис. 197). Важно помнить, что у поверхностей вращения радиус параллели всегда равен расстоянию от оси до главного меридиана и обязательно учитывать видимость заданной проекции точки!

Закрытый тор (рис. 200 )

В данном случае горло - выродилось в точку касания образующей окружности и оси.

Самопересекающийся тор (рис. 201)

У такого тора два горла - точки пересечения образующей окружности с осью

У всех торовых поверхностей четвертого порядка есть еще одна примечательная параллель, которую можно назвать опорной , потому что именно на ней будет лежать торовая поверхность на горизонтальной плоскости. Опорная параллель является границей внутренних и внешних параллелей. Опорных параллелей две. Они расположены симметрично относительно плоскости экватора. Радиус опорной параллели равен радиусу круговой оси тора.

Сфера (рис. 207)

Торовая поверхность второго порядка (рис. 208).

Рис. 208

Торовая поверхностьвторого порядка

Все торовые поверхности замкнутые.

В технике применяется еще одна торовая поверхность - глобоид (рис. 209), но ее следует рассматривать как внутренний отсек кольца.

(Открыть в своём проигрывателе)
Вид. 26

Для закрепления изучаемого материала решите задачи: №46(1), №46(2), №46(3), №46(5)

Вопросы для самопроверки:
1. Что такое параллель у поверхности вращения?
2. Что называется меридианом?
3. Какой меридиан называется главным?
4. Где у глобуса горло?
5. Сколько можно создать линейчатых поверхностей вращения? Назовите их.
6. Что построил инженер Шухов из поверхностей вращения?
7. Повторите построение рисунков 194а и 195?
8. Как образовать торовую поверхность?
9. Какие бывают торы?
10. Какой тор является квадратным?
11. Как узнать порядок тора?
12. Частью какой поверхности является глобоид?
13. Что такое гелиса?
14. Какие бывают геликоиды?
15. У какого геликоида есть конус параллелизма?

[Содержание] [Первая] [Назад] [Вперед]