4. Метрические задачи. Задачи на определение величины углов

• Угол между пересекающимися прямыми
• Угол между скрещивающимися прямыми
• Угол между прямой общего положения и плоскостью общего положения
• Двугранный угол

Рис. 330

1. Определение величины угла между пересекающимися прямыми. Решение задачи сводится к определению натуральной величины отсека плоскости любым способом преобразования чертежа(рис. 330). Назовите способ преобразования чертежа, который применён в данном случае.


Рис. 331

2. Определение величины угла между скрещивающимися прямыми. Его величину измеряет плоский угол между пересекающимися прямыми, параллельными заданным (рис. 331). Из произвольной точки проводят прямые, параллельные заданным, а затем определяют величину полученного плоского угла, решая задачу 1. Назовите способ преобразования чертежа, который применён в данном случае.
3. Определение действительной величины угла между прямой общего положения и плоскостью общего положения. Мерой такого угла является линейный угол между прямой и её ортогональной проекцией на заданную плоскость. Угол спроецируется без искажения, если прямая будет параллельной плоскости проекций, а заданная плоскость окажется проецирующей на ту же плоскость проекций. Задачу решают тройным преобразованием чертежа (рис. 332):

Рис. 332

Аудио-комментарии (Открыть в своём проигрывателе)

Придают плоскости проецирующее положение.

• Преобразуют заданную плоскость в плоскость уровня.
• Превращают заданную прямую в прямую уровня.

Способ преобразования чертежа может быть выбран любой.

Решение той же задачи без преобразования чертежа представлено на чертеже (рис. 333) и выглядит очень запутанным.

Давайте проследим за логикой решения без преобразования чертежа.

Прежде всего составим план решения:

1. Из точки D опустим перпендикуляр на плоскость треугольника АВС.
2. Найдём основание этого перпендикуляра (точку К).
3. Соединим точку К с точкой В – тем самым получим проекцию отрезка DB на плоскость треугольника АВС. В результате получим прямоугольный треугольник, у которого угол DBK является искомым. Однако плоскость полученного треугольника будет занимать общее положение, и величина искомого угла будет неопределимой.
4. Построим натуральную величину треугольника DBK, что позволит определить величину искомого угла при вершине В.

   Решение:

Рис. 333

5. Чтобы определить направление перпендикуляра к плоскости общего положения надо знать направление наклонных проекций прямых уровня заданной плоскости. Строим в плоскости горизонталь синим цветом, фронталь - зелёным. Тогда D_1О n_{1 ^} h₁; D_{2 О} n_{2 ^} f₂ – то есть строим проекции нормали сиреневым цветом перпендикулярно наклонным проекциям прямых уровня заданной плоскости треугольника АВС.
6. Затем мы должны определить основание нормали на заданную плоскость треугольника АВС. Для этого заключаем нормаль n в горизонтально-проецирующую плоскость Y, которая пересекает плоскость треугольника АВС по линии 3-4. В свою очередь, находясь в одной плоскости Y, прямые 3-4 и нормаль n пересекаются в точке К, что отчётливо видно на фронтальной проекции.
7. Соединяем теперь точку К с точкой В – тем самым получаем проекцию отрезка DB на плоскость треугольника АВС. В результате получился прямоугольный треугольник DBK, у которого угол DBK является искомым. Однако плоскость полученного треугольника занимает общее положение, и величина искомого угла неопределима.
8. Теперь мы должны построить действительный треугольник DBK. Способом прямоугольного треугольника определим натуральную величину катетов DK и КВ. Для определения натуральной величины отрезка КВ строим голубым цветом прямоугольный треугольник на К₁В₁ как на катете, вторым катетом является величина разности высот DZ _КВ , вершину которого обозначим В₀. Гипотенузу полученного треугольника К₁В₀ – натуральная величина отрезка КВ, принимаем за катет прямоугольного треугольника КDВ. Величину второго катета КD – отрезка, измеряющего расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС, также определяем (оранжевым цветом) способом прямоугольного треугольника. В построенном треугольнике D⁰К₁В₀ угол при вершине В₀ является искомым.

   Очевидно, что логика и графика решения данной задачи без применения способа преобразования чертежа сложны и запутаны.

4. Определение величины двугранного угла. Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми – сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру. Задачу решают любым способом преобразования чертежа, превращая ребро в проецирующую прямую. В этом случае ребро спроецируется в точку, а грани – в прямые. Известно, что для преобразования прямой линии в проецирующую надо сделать два преобразования чертежа.

[Содержание] [Первая] [Назад] [Вперед]