МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТА

        Планирование эксперимента

       Под планированием эксперимента понимается постановка опытов по заранее составленной схеме, обладающей какими-то оптимальными свойствами /5,6/. При этом варьируются все исследуемые факторы одновременно; влияние остальных, в том числе и неизвестных факторов рандомизируется с помощью статических приемов. На всех этапах исследования активно используются математические методы, которые применяются не только для обработки результатов наблюдений, но и при анализе полученных зависимостей, при приятии решения , при формализации априорных данных и т.д.
       При планировании эксперимента изучаемого объекта выбирают входные параметры Х_i, воздействующие на него и выходные параметры У.
       Входные параметры, отвечающие разным способам воздействия на объект, называются факторами и должны удовлетворять следующим требованиям: управляемость; однозначность; независимость факторов; совместимость с другими факторами; точность фиксации факторов должна быть высокой; выбранное множество факторов должно быть полным. Фиксированное значение фактора называется уровнем.
       Выходной параметр является реакцией изучаемого объекта (процесса) на воздействие факторов и называется откликом. Если планирование эксперимента решает задачу оптимизации процесса, то в этом случае выходной параметр называется параметром оптимизации. Отклик должен удовлетворять следующим требованиям: быть количественным и выражаться одним числом; эффективным с точки достижения цели; универсальным; имеющим физический смысл; простым и легко вычисляемым; существующим для всех различных состояний.
       Задача планирования эксперимента заключается в нахождении некоторой приближенной зависимости математического ожидания параметра оптимизации У от факторов Х_i. (функции отклика). В общем случае представление неизвестной функции отклика удобно брать в виде полинома:

              (5)

       где βi - коэффициенты регрессии, которые определяются из эксперимента. Пользуясь результатами эксперимента, можно определить лишь выборочные коэффициенты регрессии b₀, b_i, b_ij, которые являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии β₀, β_i, β_ij.. Тогда уравнение регрессии получаемое на основании результатов эксперимента имеет вид:

              (6)

       где - теоретическая оценка математического ожидания отклика.
       Определив коэффициенты регрессии с помощью метода наименьших квадратов, получим представление о влиянии изучаемых факторов на процесс, о взаимодействии факторов и о направлении движения к оптимальной области.
       Эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях (обычно на верхнем и нижнем), называется полным факторным экспериментом. Число этих комбинаций равно N=2^k , где k – число варьируемых факторов. Полный факторный эксперимент оформляют в виде матрицы планирования (см. табл.,,, примера). При этом вводят следующие обозначения: (+1) – верхний уровень фактора (максимальное значение), (-1) – нижний уровень фактора (минимальное значение), 0 – основной уровень фактора.
       С помощью методов регрессионного анализа устанавливают значимость оценки по t-критерию Стьюдента, сравнивая с критическим критерием t_кр /8/:

              (7)

       где - дисперсия коэффициента регрессии b_i; n- число различных вариантов опытов; r- число повторений опыта; - дисперсия результирующего признака. Критическое значение критерия Стьюдента t_кр находят по соответствующим статистическим таблицам при n(r-1) – степени свободы и заданном уровне значимости α. Если t_i> t_кр, то коэффициент b_i признается значимым, в противном случае он статически незначим, т.е. β_i =0. Определяют доверительный интервал длиной 2βb_i по формуле:

              (8)

       При этом, следует учесть, что коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина больше половины длины доверительного интервала, иначе этот коэффициент незначим и его можно отбросить. Необходимо проверить адекватность построенной модели с помощью критерия Фишера, путем выявления соотношения между дисперсией адекватности и дисперсии воспроизводимости по формулам:

              (9)

       Критическое значение критерия Фишера F_кр определяют по статистическим таблицам для степеней свободы: при заданном уровне значимости α. Если F <F_кр, то полученная модель адекватно представляет объект.
       Определение функции отклика с помощью планирования эксперимента состоит из следующих этапов:
       1) планирование эксперимента путем построения матрицы планирования, которая задает условия опыта, а так же возможные условия взаимодействия;
       2) Собственно эксперимент;
       3) Построение математической модели ,связывающий основные факторы и изучаемый параметр. Расчет коэффициентов модели с помощью матрицы планирования.
       4) Проверка воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий);
       5) Проверка статической значимости коэффициентов регрессии.
       6) Проверка адекватности математической модели.
       Рассмотрим применение планирования эксперимента на примере.
       Пример. Разработать математическую модель формовочной смеси с учетом следующих параметров, определяющих ее качество: прочность в сыром виде У1; газопроницаемость У2; влажность У3. /1/. Основными факторами, определяющими качество смеси являются: содержание в ней глины Х1, количество вводимой в смесь влаги Х2; время перемешивания Х3. В качестве математической модели рекомендуется брать полином первой степени вида:

       Решение. 1. Задаться основным уровнем шагом варьирования для каждого фактора.
       2. Определить верхний и нижний уровень варьирования для каждого фактора. Результат оформить в виде таблицы 2.
Таблица 2

       1. Построить матрицу планирования полного факторного эксперимента с учетом эффекта взаимодействия (таблица 3).
Таблица 3

       2. Провести эксперимент и занести результаты реализации плана эксперимента в таблицу 3
       3. Записать уравнения (математическую модель) для изучаемых параметров:

       4. Определить с помощью таблицы планирования эксперимента коэффициенты математической модели по формулам:

       где Y_j – изучаемый параметр (см. таблицу); X_ij – основной фактор (см. таблицу). Результаты расчета свести в таблицу 4.
Таблица 4

       5. Записать математическую модель: