3.6. Принцип Кастильяно

В отличие от принципа Лагранжа, в котором состояние деформированного тела характеризуется функциями перемещений, в принципе Кастильяно состояние тела характеризуется функциями напряженийкоторые заведомо удовлетворяют условиям равновесия тела при данной внешней нагрузке на поверхности и заданным перемещениям на поверхности тела (рис. 3.8, а).

Указанные напряжения называют статически возможными или равновесными системами напряжений. Но в каждой задаче теории упругости таких систем напряжений существует бесконечно много, поскольку эта задача статически неопределима.

Действительно, в три уравнения равновесия (2.3) входят шесть неизвестных функций поэтому число функций удовлетворяющих этим уравнениям и условиям на поверхности, бесконечно велико.

Принцип Кастильяно из всех систем статически возможных напряжений выделяет такие, которые обеспечивают не только равновесие, но и совместимость деформаций тела и, таким образом, являются искомым единственным решением задачи теории упругости.

Для его формулировки рассмотрим два состояния тела: первое – с истинными напряжениями и второе – с напряжениями Те и другие напряжения статически возможные и, следовательно, уравновешивают внешнюю нагрузку Представив себе разность этих состояний, придем к выводу о том, что напряжениям отвечает отсутствие нагрузки на поверхности, т.е. система напряжений самоуравновешенной.

На рис. 3.8, б показано рассматриваемое тело, испытывающее самоуравновешенные напряжения являющиеся вариациями истинных напряжений На поверхности как реактивные усилия в этом состоянии возникают поверхностные нагрузки Поскольку эта система напряжений и сил равновесна, ее работа на возможных перемещениях равна нулю.

В деформированном теле в качестве возможных могут быть приняты любые малые перемещения и пропорциональные им деформации, которые не нарушают его сплошности внутри тела и непрерывной связи с опорными закреплениями. Если перемещения и деформации, отвечающие истинным напряжениям, удовлетворяют этим условиям, то они могут быть приняты в качестве возможных для напряжений и нагрузок Запишем как условие совместности деформаций равенство нулю работы напряженийи нагрузок на истинных деформациях и перемещениях

Под знаком тройного интеграла здесь стоит вариация плотности дополнительной энергии деформации На рис. 3.9, а это показано для случая одноосного напряженного состояния и нелинейно-упругого материала. Произведение ,где выражается площадью диаграммы деформирования материала, заштрихованной на рис. 3.9, а, б. В общем случае

Второе слагаемое (3.32) равно вариации потенциала сил на поверхности (с обратным знаком). Этот потенциал обозначим Умножая (3.32) на – 1, левую часть этого равенства запишем в виде

где

Величина равная сумме дополнительной энергии деформации тела и потенциала реактивных сил на поверхности , испытывающей принудительные перемещения, называется функционалом Кастильяно или дополнительной энергией деформируемого тела.

Равенство (3.33) выражает принцип Кастильяно: истинные напряжения сообщают дополнительной энергии тела стационарное значение.

В частном случае линейно-упругого тела и отсутствия заданных смещенийкогда имеем (рис. 3.9, б) и принцип Кастильяно получает вид

Равенство (3.34) показывает, что для истинных напряжений (или внутренних усилий) линейно-упругая система имеет потенциальную энергию деформации стационарной (для устойчивого равновесия минимальной). Поскольку энергия U численно равна работе внутренних сил, которая, в свою очередь, равна работе внешних сил деформированного тела, это положение часто называют принципом наименьшей работы.

Далее ->