2.2  Геометрические   уравнения

Показано, что геометрическая деформация тела характеризуется двумя группами функций. Первая группа – это компоненты перемещений точек параллельные соответственно осям Для точки А такие перемещения показаны на рисунке 2.3. Условимся далее считать если они совпадают с положительным направлением соответствующей оси координат, и наоборот. Три функции

                определяют поле перемещений деформируемого тела.

                                                                                Рис. 2.3

                Вторая группа – это относительные деформации элементарных параллелепипедов dx, dy, dz, на которые мысленно можно расчленить тело. В каждой точке они составляют тензор деформаций:

шесть различных компонент которого как функции координат составляют тензор деформаций.

               Геометрические уравнения устанавливают зависимости между перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции заданными, а через них выразим деформации.

Для определения деформации рассмотрим отрезок А В длиной dx (рис. 2.4). Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение u, а его малый наклон, в общем случае вызываемый перемещениями,не изменяет его длины. Поэтому на рис. 2.4 изображено лишь поступательное перемещение отрезка. Обозначимчастный дифференциал (линейная часть приращения) функции u при изменении координаты х на х + dx. Из рис. 2.4 видно, что

               следовательно, и                                                 

                Для определения у_ху рассмотрим проекцию параллелепипеда dx, dy, dz на плоскость х — у. На рис. 2.5 показано положение этого параллелепипеда до деформации CAB и С₁А₁В₁ после деформации. Угол сдвига у_ху — это малое изменение прямого угла CAB. При его определении ввиду малости перемещений и деформаций не будем учитывать влияние перемещений w и изменение длины ребер параллелепипеда, т. е. считать, что параллелепипед сначала получил поступательное перемещение точки А (х_А, у_А) в точку A1 (х_А + u, у_А + v) как жесткое целое, а затем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы Следовательно, Так как частные дифференциалы и то

                       Таким образом, имеем угол сдвига в плоскости x – y

Для получения формул, выражающих надо в выражениях (2.11), (2.13) для последовательно заменить обозначения координат и компонент перемещений Эта операция обычно называется круговой подстановкой обозначений. В результате получим линейные и угловые деформации в виде

                Геометрические уравнения (2.14) носят название уравнений Коши. Для записи уравнений Коши в сокращенном виде введем векторы деформаций и перемещений и аналогичные векторам (2.5)

                Тогда уравнения (2.14) можно записать в виде

где - транспонированная матрица А (2.7), фигурирующая в уравнениях равновесия (2.6).

                Уравнения деформаций (2.14) получились в виде линейных соотношений между перемещениями и деформациями вследствие использования допущения о малости (или более строго о бесконечной малости) деформаций и перемещений.

Далее ->