Назад: 5.2 Элементарные звенья цепи регулирования и их уравнения

5.3 Частотные характеристики типовых звеньев и систем

Частотные методы исследования САР стали в теории автоматического регулирования, по существу, основными. Эти методы позволяют исследовать устойчивость САР и осуществить синтез систем, удовлетворяющих заданным показателям качества их работы. При использовании частотных методов входное воздействие на звено или систему рассматривается в форме гармонического колебания:

х_вх(t) = A₁sin ωt,

где A₁ – амплитуда воздействия; ω - круговая частота воздействия (ω = 2pf).

Изменение выходного параметра звена или системы при гармоническом входном воздействии происходит так же по гармоническому закону, но с другими показателями:

X_вых(t) = А₂ Sin (ωt + φ),

где А₂ – амплитуда параметра выхода; φ – сдвиг фазы, обусловленный инерционностью элемента.

Особенность вынужденных колебаний Х_вых заключается в том, что амплитуда А₂ и сдвиг фазы φ зависят от частоты входных колебаний. Частотная функция звена или системы является комплексной величиной, модуль которой при изменении частоты от 0 до ∞ определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):

, (5.8)

а аргумент – фазочастотную характеристику (ФЧХ):

φ(ω) = аrctgV(ω)/U(ω). (5.9)

Обобщённую частотную характеристику, учитывающую одновременное изменение амплитуды и сдвига фазы, называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Графическое изображение указанных характеристик звеньев дано в прил.2.

Следует отметить, что АЧХ звена (системы) А(ω) называется зависимость отношения амплитуды колебаний выходной величины А₂ к амплитуде колебаний входной величины А₁ от частоты ω, т.е. А(ω)=A₂/А₁.

Частотные характеристики звена или системы строят, переходя от передаточной функции W(p) к комплексной частотной функции W(jω) путем замены оператора «р» на мнимое число «jω». Переход от передаточной функции, записанной в операторной форме, к частотной форме ее записи, рассмотрим на примере апериодического звена первого порядка

.

Заменим символ оператора р на число jω:

. (5.10)

Для исключения мнимой величины в знаменателе умножим знаменатель и числитель функции (5.10) на сопряженное знаменателю число (1 – jωT):

.

Выполнив преобразования, получим выражение для амплитудно-фазовой характеристики звена:

, (5.11)

которое можно представить в общем виде

W(jω) = U(ω) – jV(ω).

Модуль последнего выражения является амплитудно-частотной характеристикой звена (системы)

. (5.12)

Фазочастотная характеристика звена (системы) запишется следующим образом:

. (5.13)

Для апериодического звена первого порядка, например, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики из (5.11) равны соответственно:

; .

Знак «–» для фазовой характеристики означает, что фаза Х_вых отстает от фазы Х_вх. Вещественная и мнимая частотные характеристики для этого звена из (5.11):

и .

Графическое изображение амплитудно-фазовых характеристик для основных типовых звеньев дано в прил.2.

Далее: 5.4 Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев и САР