10.3. Характеристики систем в пространстве состояний

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел λ_i матрицы А

Reλ<0; i=1,2,...,n,                           (10.25)

где λ_i - корни характеристического уравнения |A-λE|= 0;

n - порядок системы.

Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель |A-λE| и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно λ

|A-λE|=a₀λⁿ+a₁λ^n-1+a₂λ^n-2+...+a_n-1λ+a_n= 0                           (10.26)

После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.

Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14].

Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

G=E-2(E-A)^-1

выполнялось условие

G^k→0, при k→∞                         . (10.27)

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы G^k. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей.

Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)∈Rⁿ существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)∈Rⁿ.

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

K=[B AB A²B ... A^n-1B]                         (10.28)

и матрицы наблюдаемости

L=[C^T (CA)^T (CA²)^T ... (CA^n-1)^T].                         (10.29)

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости

det K≠0,                         (10.30)

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K < n, то система не полностью управляемая; если rank K = 0 - система полностью неуправляемая.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы наблюдаемости

det L≠0.                         (10.31)

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы L порядку n системы, то есть rank L = n. Если rank L < n, то система не полностью наблюдаема.

Таким образом, управляемость системы определяется свойствами пары матриц A и B, а наблюдаемость - свойствами пары матриц A и C. Устойчивость системы определяется свойствами только одной матрицы A.

Пример. Оценить принципиальные возможности системы автоматического управления, заданной матрицами:

Решение. Характеристический определитель матрицы A

Решая уравнение -λ³ +λ,+2=0 находим собственные числа матрицы А: λ₁=2, λ₂ = -1, λ₃ = -1.

Система неустойчива, так как λ₁=2>0.

Матрица управляемости

Матрица наблюдаемости