10.2. Структура решения уравнений переменных состояния

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами [14]

X² = AX                           (10.8)

Решение ее X(t) характеризует свободное поведение системы. Пусть вектор начальных условий имеет вид

                          (10.9)

Разложим искомый вектор X(t) в степенной ряд по t:

                          (10.10)

Дифференцируя (10.8), найдем

и т.д.                           (10.11)

Тогда при t=0 получим

и т.д.                           (10.12)

В итоге ряд (10.10) можно переписать в виде

                          (10.13)

Подставляя е^АtX₀ в исходное уравнение (10.8), легко убедиться, что (10.13) представляет собой решение. Полагая в (10.13) t=0, получим X₀.

Таким образом, интегрирование однородной системы (10.8) сводится к вычислению матрицы е^{Аt и умножению ее на вектор начальных условий X₀. Матрица еАt называется матричным экспоненциалом или матричной экспонентой. В теории управления она часто называется переходной матрицей состояния.}

Решение однородного уравнения (10.8) имеет вид

                          (10.14)

Если движение начинается в момент времени t=t₀, то решение принимает форму

                          (10.15)

Матрица e^A(t-t₀) может быть представлена в виде разложения в матричный степенной ряд

                          (10.16)

который сходится абсолютно и равномерно при любом значении t.

Основные свойства матрицы е^Аt :

1. Матрицы е^Аt₁ и е^Аt₂ коммутируют, то есть

                          (10.17)

2. Матрица е^Аt - всегда неособенная, ее обратная матрица

(е^Аt )^-1= е^-At                           (10.18)

3. Если АВ=ВА, то

е^(A+B)= е^А е^В= е^В е^А                           (10.19)

4. Производная е^Аt

                          (10.20)

Это означает, что матрица е^Аt коммутирует с A.

5. Интеграл е^Аt

                          (10.21)

откуда .

Если матрица А - неособенная, получим

                          (10.22)

Для решения неоднородного уравнения преобразуем его к виду

X² - AX = BU

и умножим слева на е^-At

Левая часть уравнения

поскольку Ae^-At=e^-AtA

Тогда

Интегрирование последнего выражения дает

Умножая полученное уравнение слева на е^Аt и учитывая свойство (10.18), получим окончательно

                          (10.23)

Первое слагаемое в (10.23) представляет собой решение однородного дифференциального матричного уравнения и описывает свободное движение системы, вызванное начальными условиями, второе слагаемое - вынужденное движение под влиянием внешнего воздействия U(t).

Тогда полное решение системы (10.1) имеет вид

                          (10.24)