2.1. Свободное движение

Простейшим движением квантовой частицы является свободное. В этом случае потенциальная энергия частицы U(x) = 0. Гамильтониан (1.11) принимает вид

.

Для свободной частицы, которая движется вдоль оси x, стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде

.                       (2.1)

Функция , где А=const и k=const, является частным решением этого уравнения с энергией , в чём легко убедиться прямой подстановкой. Соответственно для  зависящей от времени волновой функции получаем

.

Это решение представляет собой плоскую монохроматическую волну с частотой ω и волновым числом k, которая называется волной де Бройля. Координаты свободной квантовой частицы распределены с плотностью .

Постоянство этой плотности означает равновероятность обнаружения свободной частицы во всех точках пространства. Мы видим, что область движения свободной частицы неограниченно велика, что естественно.

Так как согласно корпускулярно-волновому дуализму  и , где p – импульс частицы, то волна де Бройля имеет также следующий вид:

.                  (2.2)

Зависимость энергии от импульса оказывается обычной для нерелятивистских частиц:

.

Таким образом, энергетический спектр свободной квантовой частицы, которая при  является простейшей квантовой системой с неограниченной областью движения, непрерывен и ограничен снизу значением энергии E = 0.