ОК-1. СОСТОЯНИЕ ЧАСТИЦЫ
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Последовательной теорией, объясняющей физические закономерности твёрдых тел с микроскопической точки зрения, является квантовая механика.

Чтобы понять, в чём заключается принципиальное отличие квантовой механики от классической, напомним, из каких составных частей складывается любая фундаментальная физическая теория. Должны быть определены: а) величины, задающие состояние исследуемой физической системы в данный момент времени; б) уравнения движения для этих величин, управляющие изменением состояния во времени; в) физические величины, доступные измерению, и метод получения их значений в заданном состоянии, что необходимо для сравнения выводов теории с опытными фактами.

В классической механике состояние частицы (материальной точки) в каждый момент времени t задаётся двумя величинами: радиус-вектором , определяющем положение частицы относительно системы отсчета, и импульсом  частицы.

В физике микромира классическое задание состояния полностью утрачивает смысл из-за соотношения неопределённостей Гейзенберга:

                                           (1.1)

Соотношение неопределённостей (1.1) означает, что если, например, местоположение частицы по координатной оси X известно с точностью, то в тот же момент времени x – компоненту импульса частицы можно измерить только с точностью . То же самое можно сформулировать и для y – или z – компонентов  импульса.

Установить физический смысл квантового состояния помогло открытие корпускулярно-волнового дуализма материи. В соответствии с ним квантовая теория развивалась путем введения в нее функций волнового типа.

В квантовой механике состояние частицы задается волновой функцией , которая является комплексной величиной, определяемой во всех точках пространства и в каждый момент времени.

Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется статистическим закономерностям. Распределение вероятностей, характеризующих это движение, проявляется после регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, каким является распределение интенсивности волны: там, где интенсивность волны велика, частиц регистрируется много, а там, где интенсивность мала, частицы почти не появляются.

Из всех квантовых вероятностей мы будем рассматривать только одну, которая описывает распределение координат частиц. Величина

                                 (1.2)

является плотностью распределения значений радиус-вектора частицы в момент времени t. Соответственно, вероятность обнаружить частицу в момент времени t в объёме dV=dxdydz, содержащем точку  равна

,                       (1.3)

а условие нормировки волновой функции имеет вид

,                                (1.4)

где интегрирование распространено на всё трёхмерное пространство.

Уравнение Шредингера для трёхмерного движения квантовой частицы в силовом поле записывается в виде

,                     (1.5)

здесь D - это оператор Лапласа, так что

        (1.6)

Величина  является потенциальной энергией частицы в точке , которой в неквантовой задаче отвечает сила

Уравнение Шредингера является уравнением движения квантовой нерелятивистской частицы в силовом поле. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом.

Уравнение Шредингера имеет первый порядок по времени. Поэтому для определения состояния частицы в любой момент времени уравнение Шредингера достаточно дополнить начальным условием, задающим волновую функцию в начальный момент времени. Кроме того, необходимо задать ещё граничные условия, определяющие движение на границах системы.

В стационарном силовом поле существуют стационарные решения уравнения Шредингера (1.5), причём эти решения гармонически зависят от времени:

,                          (1.7)

где E- энергия частицы. Подстановка  (1.7) в (1.5) приводит к стационарному уравнению Шредингера для функции :

.                 (1.8)

Функция также называется волновой, но она описывает только стационарное состояние частицы с энергией E.

В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим её  φ) сопоставляется другая функция (обозначим её f). Символически это записывается следующим образом: 

                                             (1.9)

Здесь - символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было бы взять любую другую букву с «шляпкой» над ней). В формуле (1.6) роль   играет Δ, роль φ – функция Ψ, а роль f – правая часть формулы.

Итак, под символом оператора скрывается совокупность действий, с помощью которых исходная функция (φ) превращается в другую функцию f. Например, под символом Δ скрывается двукратное дифференцирование по всем трём координатам x, y иz с последующим суммированием полученных выражений. Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции φ  на некоторую функцию U. Тогда  и, следовательно, .

Если рассматривать функцию U в уравнении (1.8) как оператор, действие которого на пси-функцию сводится к умножению Ψ на U, то уравнению (1.8) можно придать вид

.                                           (1.10)

В этом уравнении символом обозначен оператор, равный сумме операторов  и U:

.                                  (1.11)

Оператор называют гамильтонианом. Гамильтониан является оператором энергии E. В квантовой механике другим динамическим переменным также сопоставляются операторы. Соответственно рассматриваются операторы координат, импульса, момента импульса и т.д. Для каждой динамической переменной q составляется уравнение, аналогичное уравнению (1.10). Оно имеет вид

,                                         (1.12)

где  - оператор, сопоставляемый динамической переменной q.