А.А. Бибиков родился 7 января 1765 г. в Дрездене в семье екатерининского вельможи генерал-аншефа Александра Ильича Бибикова и княжны Анастасии Семеновны Козловской. Он приходился племянником по отцу М.И. Кутузову. В 1768 г. он был записан унтер-офицером в лейб-гвардии Измайловский полк и в том же году уже стал сержантом. После смерти отца, в девятилетнем возрасте, пожалован чином прапорщика с переводом в лейб-гвардии Преображенский полк. 22 сентября 1786 г. пожалован в камер-юнкеры. На действительную службу поступил 1 января 1787 г. уже в чине капитана и находился в свите императрицы во время ее путешествия по Южной Украине и Крыму. Был награжден золотой медалью в память об этой поездке.

Однако придворная жизнь не испортила молодого человека. Он стремится на поля сражений и получает разрешение императрицы, опе-кавшей юношу, отправиться волонтером в корпус генерал-лейтенанта И.И. Михельсона, участвовавший в войне со Швецией (1788 – 1790 гг.). Бибиков участвовал в рекогносцировках у поста Гекфорск, у д. Киро, у Вильманстранда. В сражении у д. Киро, он с двумя гренадерами, захватил вражескую пушку. В ожесточенном бою 1 июня 1789 г. при переправе у д. Парусальми Бибиков был ранен пулей в левую ногу. Но к 7 июня, вернулся в строй. В новом бою у Парусальми, командуя ротой гренадер, продемонстрировал особое мужество и был опять ранен. За храбрость проявленную в этих сражениях Александр Александрович 9 июня 1789 г. был награжден орденом Святого Георгия IV степени . В июле 1789 г. Бибиков участвовал в сражениях на р. Кюмень. После этого Александр Александрович был переведен в распоряжение командующего русским гребным флотом вице-адмирала принца К.Г. Нассау-Зигена, под командованием которого участвовал 13 августа 1789 г. в сражении у Роченсальма. 21 августа во время высадки русского десанта в устье реки Кюмень, А.А. Бибиков командовал батальоном лейб-гвардии Преображенского полка. За мужество и распорядительность проявленные в этих боевых операциях, Бибиков 30 августа 1789 г. был пожалован золотой шпагой с надписью «За храбрость».

После окончания русско-шведской войны (1788 – 1790 гг.) Бибиков вернулся в столицу и продолжал службу в гвардии еще в течение 5 лет. 31 мая 1795 г. он был произведен в действительные камергеры. После воцарения императора Павла І Бибиков направляется с краткой дипломатической миссией к герцогу Вюртембергскому. 1 октября 1798 г. император произвел Бибикова в чин тайного советника. 7 ноября 1798 г. Павел I, перевел А.А. Бибикова на службу в коллегию иностранных дел, а 22 декабря этого же года назначил чрезвычайным послом в Португалию. 1 января 1799 г. Бибиков был перемещен чрезвычайным послом в Саксонию, Затем 28 февраля 1799 г. был отозван от занимаемого им поста и 7 января 1800 г. причислен к герольдии для определения к другим делам. Высочайшим указом от того же числа Бибиков назначается сенатором и был награжден орденом Cвятой Анны I степени. С 12 января он заседал во временном межевом департаменте. Но вскоре император высочайшим указом от 1 февраля 1800 г. отправляет Бибикова в отставку и несколько лет тот оставался не у дел.

В 1806 г., когда создавалось земское войско – милиция для отражения возможного вторжения наполеоновских войск, Бибиков вступает в ополчение. 16 декабря он был избран начальником милиции Ораниенбаумского уезда. В 1808 г. Бибиков возвращается на государственную службу. Высочайшим указом 10 февраля 1808 г. он был назначен чрезвычайным послом и полномочным министром к неаполитанскому двору и оставался на этом посту до 22 февраля 1810 г., когда был отозван в Санкт-Петербург. Высочайшим указом 20 декабря того же года Александра Александровича вновь назначают к сенатором, во II отделение 5-го департамента. 8 мая 1811 г. он перемещен в I отделение 3-го департамента.

С началом Отечественной войны 1812 г. А.А. Бибиков решил вер-нуться на военную службу и подал через своего дядю, M. И. Кутузова, ходатайство о разрешении ему вступить в ряды ополченцев. Александр I разрешил ему определиться в петербургское ополчение, которым в начале военных действий и командовал Кутузов. Бибиков деятельно помогал Кутузову при организации ополчения. Затем он возглавил один из двух отрядов, на которые делились петербургские ополченцы. Под его командованием оказалось свыше 5 тысяч человек, к которым затем были присоединены по два эскадрона Гродненского гусарского полка и Польского уланского полка. 3 сентября отряд Бибикова выступил из Санкт-Петербурга на усиление корпуса П.Х. Витгенштейна. С которым соединился 28-го сентября. Тогда же П.Х. Витгенштейн поручил ему командовать всем петербургским и новгородским ополчениями. 6 октября Бибиков со своими ополченцами участвовал в сражении под Полоцком и своим бесстрашием заслужил особую благодарность главнокомандующего. На следующий день, при штурме Полоцка, ополченцы были опять впереди и первые ворвались в город. За эти подвиги А.А. Бибиков 3 января 1813 г. получил орден Святого Георгия III степени . 15 октября, после соединения корпуса генерал-лейтенанта графа П.Х. Витгенштейна с корпусом генерал-лейтенанта графа Ф.Ф. Штейнгеля, Бибиков поручили командование 1-й линией объединеного корпуса, состоявшей из пермского, севского и калужского пехотных полков, сводного егерского и нескольких эскадронов конницы с 30 орудиями. С этими силами Александр Александрович успешно действовал против французов в боях у деревень Чашники и Смольная. В последнем сражении он был ранен пулей в ногу, но до конца боя не оставлял поля битвы. 16 ноября у д. Студянка Бибиков, со своими ополчениями, принимал самое деятельное участие в бою. При этом из-за ранения ноги он не мог ездить верхом и поэтому командовал сидя в санях. А когда были убиты все лошади в запряжке, он распоряжался опираясь на плечо одного из своих адъютантов и вновь не покинул место сражения. В декабре Александр Александрович последовал вместе с армией с остатками своего войска в Пруссию, хотя из 12 тысяч его ополченцев уцелело всего 900 человек. С этой горстью людей Бибиков участвовал в сражениях при Питконене и Лабиау, и в во взятии Кенигсберга. После этого он попросил разрешения графа П.Х. Витгенштейна остаться в Кенигсберге, чтобы привести в порядок и дать отдых своим ополченцам. Здесь его бойцы, в знак уважения к своему командиру, с согласия императора, приподнесли Бибикову золотою шпагу с надписью на лезвии клинка «За веру и царя», а на эфесе «сенатору Бибикову Санкт-Петербургское ополчение». Восстановившее силы, ополчение выступило из Кенигсберга к крепости Пиллау. А 6 февраля 1813 г. вошло в состав войск осаждавших Данциг. В это время Бибиков сильно заболел и вынужден был возвратиться в Кенигсберг. Там, несмотря на болезнь, он собирал постепенно прибывавшие остатки рассеянного ополчения. Почувствовав временное облегчение, он 16 июня снова прибыл под Данциг. Командующий осад-ным корпусом, герцог Александр Вюртембергский, поручил его заботам калужское ополчение. 1 июля Бибиков представил герцогу план преобразования ополчения, который был одобрен и немедленно приведен в исполнение. Тем временем пришло разрешение Бибикову оставить службу, и 10 июля он простился с ополченцами. В виде особой милости Император разрешил ему и впредь носить ополченский мундир. Для поправления здоровья Бибиков был уволен и от должности сенатора по 15 октября 1813 г. В конце этого года от возвратился в Санкт-Петербург и снова вступил в I отделение 3-го департамента Сената. 25 апреля 1821 г. он уехал за границу в отпуск, для лечения в Карлсбаде. 20 июля 1822 г. он скончался в Дрездене. Его тело было привезено из Германии и погребено в Александро-Невской лавре. В исторической литературе Бибиков известен как автор книги «Записки о жизни и службе Александра Ильича Бибикова» – СПб., 1817.