4.3 Общая процедура расчета по МКЭ

Проследим основные этапы использования МКЭ на конкретном примере расчета плоской конструкции, изображенной на рис. 4.9, а. На первом этапе выбирается расчетная схема и наносится сетка конечных элементов. На рис. 4.9, б показана рассматриваемая половина конструкции ввиду ее симметрии с выбранной сеткой квадратных элементов а = b = 20 см. Там же дана нумерация узлов и конечных элементов (в кружках). От нумерации узлов зависит структура матрицы системы уравнений, к которой сводится решение задачи. Матрица имеет ленточную структуру, схематически показанную на рис. 4.9, б. В заштрихованной ленте шириной 2М в каждой строке могут находиться ненулевые элементы, вне ее все элементы нулевые. Это связано с тем, что, в уравнения равновесия узла входят лишь обобщенные силы, соответствующие элементам, примыкающим к этому узлу. Можно сказать, что данный узел непосредственно «взаимодействует» только с ближайшими окружающими его узлами. При нумерации надо стремиться к тому, чтобы наибольшая разность номеров «взаимодействующих» узлов была как можно меньше. В данном случае общее число неизвестных перемещений за вычетом перемещений закрепленных на границе узлов будет n = 2*133-2*7-7=245. Таков порядок системы уравнений в данной задаче; полуширина ленты М=30. ленточность структуры уравнений является большим достоинством МКЭ, так как упрощает и ускоряет решение уравнений. На следующем этапе строятся матрицы жесткости отдельных элементов в местной системе координат В данном случае все элементы одинаковые и матрицы строились, как описано в § 8.9. В общем случае они могут быть различными по форме, материалу, размерам. Далее из матрицы надо сформировать матрицу жесткости всей конструкции в общей системе координатВ данном случае неизвестные в местной системе и в общей системе по направлению совпадают. Они лишь имеют различную нумерацию. Так, показанный на рис. 4.9, б 30-й элемент ABCD в соответствии с рис. 4.3, а, б будет иметь нумерацию неизвестных: . В то же время в общей системе в узлах A, B, C, D номера неизвестных будут Поэтому элементы должны будут попасть в соответствующие клетки общей матрицы жесткости . Такая рассылка элементов матриц жесткости отдельных конечных элементов с их суммированием в клетках общей матрицы производится автоматически на основе общей логической процедуры. Оси могут быть повернуты по отношению к общим осям .Тогда требуется предварительно преобразование матрицы .Эти вопросы изучаются в курсе строительной механики. Далее формируется столбец грузовых членов системы уравнений из узловых сил. В данном примере такие узловые силы имеются лишь в узлах верхнего горизонтального ряда сетки. После решения общей системы уравнений получаем все перемещения узлов в общей системе координат. На этом этапе надо перейти обратно от указанных перемещений к перемещениям узлов в местной системе для каждого элемента. Это опять делается в автоматическом режиме.

Рис. (4.9)

Наконец, после того как найдены перемещения узлов каждого элемента, по формулам типа (4.28) в нем могут быть найдены напряжения

На рис.4.10 показана общая картина перемещений узлов (с увеличением в 500 раз), а на рис. 4.11 – эпюры напряжений в двух сечениях конструкции. В расчетах принятоВ заключение отметим, что здесь изложены лишь начальные основы МКЭ. Более подробные сведения можно найти в учебнике [2] и в специальной литературе.

Рис. (4.10)

Рис. (4.11)

Это только основы МКЭ.

Далее ->