1.1 Нагрузки и напряжения. тензор напряжений

Рассмотрим произвольное тело с наложенными на него опорными связями, которое находится под действием поверхностных и объемных (массовых) нагрузок (рис. 1.1). Объемными нагрузками могут быть, например, собственный вес, инерционные силы, силы электромагнитного происхождения и т. д.

Поверхностные и массовые нагрузки характеризуются интенсивностями, которые в общем случае зависят от координат х, у, z и выражаются соответственно в Н/м² (или Па) и Н/м³. Сосредоточенные внешние силы, приложенные в точках поверхности тела, можно рассматривать как предельный случай поверхностных нагрузок, распределенных на малой части поверхности тела.

Проекции интенсивности поверхностной нагрузки на координатные оси обозначим р_х, р_у, p_z, а проекции интенсивности массовой нагрузки — X, Y, Z. Проекция интенсивности внешней нагрузки считается положительной, если ее направление совпадает с направлением соответствующей координатной оси. Под действием заданных нагрузок в теле появляются напряжения. Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям, а их длина равна d_х, d_у, d_z (см. рис. 1.1).

Вырежем из рассматриваемого тела элементарный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям, а их длина равна d_х, d_у, d_z (см. рис. 1.1). На гранях этого параллелепипеда действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение) и касательную (касательное напряжение). В свою очередь, касательное напряжение можно разложить на две составляющие, параллельные координатным осям (рис. 1.2). В результате на каждой грани параллелепипеда действуют три напряжения (слово «составляющая» в дальнейшем для краткости будем опускать), которые обозначим σ_хх, τ_ху, τ_хz. Первый индекс в обозначениях напряжений указывает ось, параллельно которой направлена внешняя нормаль к площадке, а второй индекс — ось, параллельно которой направлена составляющая напряжения, т. е. первый индекс указывает площадку, на которой действует напряжение, а второй — его направление. Поскольку в обозначениях нормальных напряжений фигурируют два одинаковых индекса, обычно оставляют только один из них и пишут σ_х,σ_y, σ_z.

Примем следующее правило знаков для напряжений: если внешняя нормаль к площадке имеет положительное (отрицательное) направление, то напряжение положительно, если его направление совпадает с положительным (отрицательным) направлением соответствующей координатной оси. В соответствии с приведенным правилом знаков положительные нормальные напряжения являются растягивающими, а отрицательные – сжимающими.

Напряжения, так же, как и поверхностная нагрузка, выражаются в Н/м² (Па).

Одноименные и параллельные напряжения, действующие на параллельных гранях бесконечно малого параллелепипеда, отличаются друг от друга на бесконечно малую величину и потому их можно считать одинаковыми.

Следовательно, на гранях параллелепипеда действуют три нормальных и шесть касательных напряжений, совокупность которых образуют тензор напряжений





В строках тензора содержатся напряжения, направление которых параллельно соответственно координатным осям x, y, z, а в столбцах – напряжения, действующие на площадке, нормаль к которой параллельна оси х, или у, или z.

Для общего случая напряженного состояния доказан закон парности касательных напряжений. В соответствии с ним τ_xy=τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz

Следовательно, тензор напряжений является симметричным относительно главной диагонали.

Наряду с напряжениями, действующими на площадках, нормальных к координатным осям х, у, z, часто возникает необходимость отыскания напряжений на площадках, произвольным образом на¬клоненных к указанным осям. Установим зависимость между проекциями полного напряжения на наклонной площадке X_ν, Y_ν, Z_ν с напряжениями σ_x,τ_xy,...

Выделим в окрестности точки элементарный тетраэдр, три грани которого совпадают с координатными плоскостями, а четвертая грань образована секущей произвольной наклонной плоскостью (рис. 1.3, а, б). Ее положение в пространстве определяется нормалью v . Обозначим косинусы углов (направляющие косинусы), образованные этой нормалью с осями x, y,z, cos(x,ν)=l, cos(y,ν)=m, cos(z,ν)=n.

Площадь наклонной грани равна dA, а площади других граней соответственно равны dA_x, dA_y, dA_z (индекс указывает направление нормали к площадке).

Очевидно, что для этих площадей справедливы соотношения



Условие равновесия тетраэдра в проекции на ось x имеет вид



При записи уравнения равновесия удерживались только члены второго порядка малости ( , ...).

Поэтому горизонтальная проекция массовой силы не учитывается, так как она является величиной третьего порядка малости.



Из равенства (1.2) имеем



Далее из уравнений равновесия в проекции на оси у и z нетрудно получить аналогичные выражения для Y_ν, Z_ν . Однако те же самые равенства можно записать, воспользовавшись так называемым правилом круговой подстановки индексов. В итоге приходим к системе уравнений



Таким образом, по известным компонентам тензора напряжений, записанным в осях х, у, z, могут быть найдены проекции полного напряжения X_ν, Y_ν, Z_ν на наклонной площадке, определяемой направляющими косинусами l, m, n.

Обозначим координатную ось, совпадающую с нормалью через х и выберем на наклонной площадке две другие ортогональные оси у', z'.

По составляющим , можно получить значение нормального напряжения на той же площадке:

Далее ->