Назад: 5.3 Частотные характеристики типовых звеньев и систем

5.4 Логарифмические частотные характеристики типовых звеньев и САР

Построение рассмотренных выше частотных характеристик – процесс достаточно трудоемкий. Чтобы сделать его более простым, были введены логарифмические частотные характеристики элементов и систем. Для построения логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) L(ω) принято брать более мелкую единицу измерения, которая в 20 раз меньше одной десятичной логарифмической единицы, т.е. 20lg L(ω). Данная единица измерения называется децибел и записывается в виде дБ.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика φ(ω) строится в градусах. Построение логарифмических характеристик Н(ω) и φ(ω) производится на полулогарифмической бумаге, когда по оси абсцисс откладывается ω (в логарифмическом масштабе), а по оси ординат - амплитуда в децибелах и фаза в градусах (в линейном масштабе). На полулогарифмической бумаге изменение частоты ω_i/ω_к в два раза называют октавой, а изменение ω_i/ω_к в 10 раз – декадой.

Для построения логарифмической амплитудной и фазовой характеристик передаточную функцию звена или системы в операторной форме записывают как частотную показательную функцию W(jω) = A(ω)e ^jφ(ω) и от нее переходят к выражению логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ):

L(ω)= 20×lg│W(jω)│= 20×lg A(ω).

В этих единицах выражается величина L(ω). (C пояснениями по поводу употребления множителя 20 можно ознакомиться в специальной литературе по теории автоматического регулирования).

Логарифмическую амплитудную характеристику L(ω) = 20lgA(ω) строят в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладывают угловую частоту ω в логарифмическом масштабе, т.е. наносят отметки, соответствующие lgω, но возле этих отметок надписывают непосредственно значения частоты ω в сек^–1. Например, на шкале абсцисс под отметкой, соответствующей lg10, ставится число 10, а не 1, хотя lg10 = 1.

По оси ординат наносится равномерная шкала децибел. Ось абсцисс проходит через нуль оси ординат, что соответствует величине А(ω) = 1, так как lg1 = 0. Точка ω = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg0 = - ∞. Поэтому ось ординат проводят таким образом, чтобы справа от оси ординат на оси частот поместилась та часть логарифмической амплитудной характеристики, особенности которой требуется проследить.

При построении логарифмических амплитудных характеристик большинства типовых звеньев достаточно помнить три значения логарифма: lgl = 0 и соответственно 20×1g1 = 0; lg10 = 1 и соответственно 20×1gl0 = 20 дБ; lg2 » 0,3 и соответственно 20×1g2 » 6 дБ.

Для примера рассмотрим подробно построение ЛАЧХ звена (системы) с передаточной функцией W(jω) = k/(1+jωT).

Поделим числитель и знаменатель передаточной функции на T и обозначим ω_T = 1/T.

Далее приведем передаточную функцию к виду

W(jω) = kω_T/(ω_T+jω).

Модуль передаточной функции

.

Следовательно, модуль ЛАЧХ:

или

.

Для построения и исследования ЛАЧХ достаточно рассмотреть случай, когда k = 1, так как при всех других значениях коэффициента k характеристика получается параллельным переносом на отрезок 20lgk вдоль оси ординат. Итак, при k = 1

. (5.14)

Анализируя 5.14, можно заключить, что в области, где ω много меньше ω_Т, L(ω) = 0, т.е. характеристика асимптотически приближается к оси абсцисс.

В области, где ω много больше ω_T:

, (5.15)

т.е. кривая асимптотически приближается к прямой, представляемой уравнением (5.15). Эта прямая - асимптота пересекает ось абсцисс в точке ω = ω_T. Чтобы выяснить ее наклон, рассмотрим частоты ω₁ и ω₂, отличающиеся на октаву, т.е. так, что ω₂ = 2 ω₁,.При ω = ω₁ имеем , а при ω = ω₂ находим .

Откуда дБ.

Следовательно, исследуемая асимптота имеет наклон или крутизну – 6 дБ/окт и расположена, как показано на рис.5.3.

Рис. 5.3. Построение логарифмической (амплитудной) характеристики

Чтобы измерить наклон асимптоты в децибелах на декаду, возьмем частоты ω₁ и ω₂, отличающиеся на декаду, т.е. так, чтобы ω₂=10ω₁. Этим частотам соответствуют следующие значения L(ω):

при ω = ω₁ имеем

,

а при ω = ω ₂ имеем

или

дБ.

Наклон асимптоты равен 20 дБ/дек. Следовательно, 6 дБ/окт =20 дБ/дек.

Построение асимптот дает возможность получить кусочно-линейную аппроксимацию логарифмической амплитудной характеристики, т.е. придать амплитудно-частотной характеристике простую форму. Аппроксимируя ЛАЧХ асимптотами, сопряженными при частоте ω = ω_T, получим при этой частоте наибольшую ошибку. Эта ошибка равна истинному значению ординаты в точке сопряжения, которое можно найти, подставив ω = ω_T в уравнение (5.14).

Тогда

дБ.

Вместе с ЛАЧХ на одном и том же чертеже можно строить и логарифмическую фазовую характеристику φ(ω), которая отличается от обычной фазо-частотной характеристики лишь тем, что частоту на оси абсцисс откладывают в логарифмическом масштабе, причем ось частот обычно общая для ЛАЧХ и логарифмической фазовой характеристики.

При построении фазовых логарифмических характеристик следует помнить, что arctg0 = 0°; arctg1 = 45°; arctg∞ = π/2 = 90°.

Логарифмические характеристики основных типовых звеньев даны в прил.2.

Логарифмические характеристики находят как сумму логарифмических характеристик звеньев, входящих в данную систему.

Рис. 5.4. Логарифмические характеристики статической системы

Общую логарифмическую асимптотическую амплитудную характеристику строят в следующей последовательности (рис. 5.4, кривая 1):

1. Определяют сопряженные частоты для всех инерционных звеньев и отмечают их на оси частот.

2. Откладывают на оси ординат величину 20lg k и проводят горизонтальную линию до первой сопряженной частоты (точка «а» ω_сп1).

3. Начиная от этой точки логарифмическая характеристика будет иметь наклон –6 дБ/окт = –20 дБ/дек. Прямой участок характеристики с таким наклоном проводят от точки «а» до второй сопряженной частоты (точка «б» ω_сп2).

4. Начиная от точки «б» наклон характеристики увеличится за счет второго инерционного звена еще на –6 дБ/окт = –20 дБ/дек и составит –12 дБ/окт = –40 дБ/дек. С таким наклоном проводят прямой отрезок до третьей сопряженной частоты (точка «в» ω_сп3).

5. Начиная от точки «в» наклон характеристики вновь увеличится на –6 дБ/окт = –20 дБ/дек и составит теперь –18 дБ/окт, или –60 дб/дек, и далее останется постоянным.

Для построения точной характеристики следует учесть погрешности на сопряженных частотах и далее провести плавную кривую (кривая 2). Частоту, при которой эта кривая пересекает ось абсцисс, называют частотой среза ω.

Фазочастотную логарифмическую характеристику обычно строят для каждого слагаемого с помощью шаблона, фиксируя его по точке ω_сп = 1/Т, для которой φ(ω) = 45°, и двум прямым φ(ω) = 0° и φ(∞) = 90°. Для построения общей фазовой частотной характеристики суммируют ординаты этих кривых.

В качестве второго примера рассмотрим построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой астатической системы автоматического регулирования (рис.5.5).

Рис. 5.5. Логарифмические характеристики астатической системы

Пусть система имеет нижеследующую передаточную функцию:

φ(ω)=-90 – аrctgT₁ω – arctgT₂ω.

По передаточной функции находят выражения для частотных характеристик – амплитудной и фазовой:

;

φ(ω) = –90 – аrctgT₁ω – arctgT₂ω.

Уравнение логарифмической амплитудной характеристики будет иметь вид

.

Наличие интегрирующего звена не позволяет начинать построение характеристики с частоты, равной нулю, так как при такой частоте коэффициент усиления этого звена стремится к бесконечности. Поэтому отметки частоты должны начинаться с какого-то значения ω > 0, например с ω = 0,1с^–1. Первую точку асимптотической характеристики целесообразно брать для частоты ω = 1с^–1. На этой частоте коэффициент усиления интегрирующего звена равен 1, а так как сопряженные частоты всех остальных звеньев лежат правее частоты 1с^–1, то на этой частоте нужно отложить величину 20lg k, соответствующую произведению коэффициентов усиления, не зависящих от частоты (см. рис. 5.5). Полученная точка на частоте ω = 1с^–1 является первой точкой логарифмической амплитудно-частотной характеристики.

Для получения первого участка асимптотической характеристики (кривая 1) через полученную точку надо провести прямую с наклоном –6 дБ/окт = –20 дБ/дек до первой сопряженной частоты (точка «а»). Затем, начиная с этой точки, характеристика меняет наклон, который становится равным –12 дБ/окт = –40 дБ/дек. Этот наклон сохраняется до второй сопряженной частоты (точка «б»), и далее характеристика продолжается с наклоном –18 дБ/окт или, что относительно наклона то же самое, –60 дБ/дек.

С помощью асимптотической характеристики проводят точную амплитудно-частотную характеристику (кривая 2) и определяют частоту среза.

Логарифмическая фазовая характеристика строится с фазового сдвига 90°, так как интегрирующее звено имеет такой фазовый сдвиг независимо от частоты. Дальнейшее построение общей фазовой характеристики аналогично построению, рассмотренному в первом примере (рис.5.4).

Далее: 5.5 Переходные процессы в системе «электрод-деталь-источник питания»