С середины шестидесятых годов прошлого столетия стала динамично развиваться теория оптимального управления. Действительно очень заманчиво разработать математический аппарат, с помощью которого удалось бы синтезировать систему управления, наилучшую в каком – то смысле. В становление теории оптимального управления большой вклад внести выдающиеся математики нашей страны и мира. В частности Л.С. Понтрягин, А.М. Летов, Красовский Н.Н., Красовский А.А., Р. Беллман, Л. Маркус и др.

Обычно в технических приложениях координаты пространства состояния и вектор управления принадлежат некоторым выпуклым множествам, то есть на их значения наложены ограничения. При формулировке задачи оптимального управления ограничения обычно накладываются на вектор управления, то есть

где U - некоторое выпуклое компактное ограничиваюшее множество. При этом принимается во внимание, что в устойчивой по Ляпунову системе ограниченному изменению вектора управления соответствует ограниченное множество координат состояния системы. Именно поэтому все ограничения приводятся к вектору управления. Ограничения имеют ясное техническое содержание. Например, ускорения некоторых координат состояния определяется предельно допустимыми значениями ускорений, формирующих предельно допустимые динамические усилия исходя из прочности взаимодействующих механических элементов. Сами управления не могут принимать больших значений в связи с ограниченностью мощности управляющих элементов и пр.

Необходимо сформулировать цель управления. Она имеет двоякое содержание. Во-первых, систему, координаты состояния которой имеют некоторые начальные значения, необходимо перевести в некоторое терминальное (конечное) состояние. Это состояние называется целевым множеством. Например, при управлении процессом обработки на металлорежущих станках необходимо в заданной координате подвести резец к зоне резания с заданной скоростью. При этом имеются некоторые допуски на саму координату и дополнительно на значение ее скорости суппорта при подходе к зоне резания. Таким образом, в данном случае целевое множество задается допусками на перемещение и скорость. Возникает вопрос о принципиальной возможности такого перевода. Эта задача решается на основе сформулированной проблемы достижимости целевого множества.

Во-вторых, необходимо определить показатель качества управления ,переводящего систему из начального состояния в терминальное.Все множество управлений, обеспечивающее этот перевод, зависит как от управления, так и от координат состояния. Чаще всего целевая функция представляется в виде некоторого интеграла

Следуя предметной области настоящего курса, проанализируем использование теории оптимального управления в практике в настоящее время. Теория является красивой математической дисциплиной, имеющей великолепные математические построения, сформулированные и доказанные теоремы общего вида. Однако практическое использование принципа максимума Л.С. Понтрягина ограничено уравнениями не выше третьего порядка. По мере увеличения сложности и порядка дифференциального уравнения возникают принципиальные трудности чисто математического характера, примеры преодоления которых не известны. В лучшем положении находится теория динамического программирования, разработанная Р.Беллманом. Однако, по его же словам, главная проблема при решении задач оптимального управления связана с «проклятием размерности» реальных объектов управления.

Кроме этого, при реализации законов управления с учетом практической реализуемости требуется обеспечивать синтез управления не во времени, а в координатах пространства состояния. Сложность алгоритмов синтеза и необходимость синтеза управления в координатах пространства состояния позволила говорить в восьмидесятых девяностых годах прошлого столетия о кризисе в теории автоматического управления [9].

Сегодня возникает фундаментальная проблема сближения фундаментального, чисто математического знания, и решения прикладных инженерных задач. Причем сближения не, только в направлении упрощения алгоритмов синтеза, которые были бы доступными реальным конструкторам систем, но и в сближении в смысле физической реализации. Для физической реализации функцию управления необходимо строить в координатах пространства состояния и с учетом внутренних свойств объектов.