7.1. Сопряжения геометрических объектов

Сопряжения геометрических объектов используются при геометрическом моделировании сложных составных конструкций тел (деталей) когда требуется плавность переходов их поверхностей.

Сопряжение – это плавный переход от одного геометрического объекта к другому. По сути это взаимное касание объектов. Объекты одномерные (линии) соприкасаются между собой в точке, которая называется точкой касания или точкой сопряжения. Объекты двумерные (поверхности) могут сопрягаться между собой в точке, например две сферы, или по линии, например цилиндр и конус. Объекты одномерные (линии) сопрягаются с двумерными (поверхностями) в точках.

При построении сопряженных объектов используется неизменность взаимного положения нормалей и касательных прямых в выбранной точке геометрического объекта – их взаимная перпендикулярность. На чертеже нормаль к линии или поверхности построить проще, чем касательную, поэтому, как правило, сначала строится нормаль, затем касательная. При этом используются соответствующие свойства ортогонального проецирования и Евклидова пространства.

Если геометрические объекты, как линии, так и поверхности, сопрягаются в точке, то сопрягаемые объекты в точке сопряжения имеют общую нормаль. При этом следует помнить, что в любой точке линии можно построить только одну касательную прямую и множество нормалей, образующих нормальную плоскость. В любой точке поверхности можно построить только одну нормаль к ней и множество касательных прямых, образующих касательную плоскость.

При сопряжении двух поверхностей по линии, например сфера и конус, совокупность нормалей к точкам линии касания образует общую нормальную поверхность, в данном примере - конус. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Построение плоскости, касательной к сфере в заданной точке А на рис.7.1.

Соединим точку А с центром сферы О. Это нормаль сферы в заданной точке. Касательная плоскость должна быть перпендикулярна построенной нормали. Используя признак перпендикулярности прямой и плоскости и свойство проецирования взаимно перпендикулярных прямых, зададим касательную плоскость двумя пересекающимися прямыми уровня, как показано на рис.7.1. Фронтальная проекция горизонтали h1 и горизонтальная проекция фронтали f2 проводятся горизонтально через соответствующие проекции точки А. Фронтальная проекция фронтали f1 и горизонтальная проекция горизонтали h2 проводятся через точку А перпендикулярно соответствующим проекциям нормали. Любая прямая проведенная через току А в построенной плоскости будет касательной к сфере в этой точке.

Пример 2. Построение конической поверхности с заданной вершиной S, сопряженной с заданной сферой.

В этом примере поверхности проецируются как сопряженные при любом их расположении относительно плоскостей проекций, поэтому можно построить очерковые образующие конуса по касательным к очерку сферы на любой из проекций. Для точного построения необходимо выполнение определенных пра-вил.

Соединим вершину конуса с центром сферы. Это ось вращения сопряженного конуса. Если эта ось является прямой уровня, то точки сопряжения и линию нетрудно построить на той плоскости проекций, которой ось параллельна. В данном примере ось конуса не является прямой уровня, поэтому заменой фронтальной плоскости проекций преобразуем ось во фронтальную прямую, как показано на рис.7.2.

Здесь так же можно построить очерк конуса визуально по касательным к очерку сферы. Для точных построений необходимо построить окружность диаметром О'1S'1 с центром на середине этого отрезка. Там где построенная окружность пересекает очерк сферы и будут находиться точки сопряжения (1 и 2) очерков поверхностей. Линия сопряжения 1-2 (окружность) проецируется на П'1 в прямую линию, на других проекциях это будут эллипсы.

Любая прямая, проведенная через вершину S и точку на линии сопряжения будет касательной к сфере.

Пример 3. построение прямых и плоскостей, касательных к цилиндрической поверхности.

Плоскость сопрягается с цилиндрической поверхностью по прямой линии, по одной из образующих. Чтобы построить плоскость, касательную к цилиндрической поверхности в заданной точке, принадлежащей цилиндру, нужно провести через эту точку образующую. Вторая прямая, задающая касательную плоскость, может быть прямой уровня, проведенной в конечной точке образующей по касательной к контуру основания цилиндрической поверхности. Любая прямая проведенная в построенной плоскости будет касательной к цилиндрической поверхности в одной из точек на линии сопряжения.

Если точка задана не на поверхности, то сначала нужно задать пучок плоскостей, параллельных образующим цилиндрической поверхности. Для этого нужно через точку А провести прямую, параллельную образующим, как показано на нрис.7.3. Далее определяется точка N пересечения линии пучка с плоскостью основания цилиндрической поверхности. Прямая, проведенная из точки N по касательной к контуру основания фиксирует плоскость, касательную к цилиндрической поверхности. В данном примере их может быть две. Касательная плоскость, проходящая через образующую 2 на рис.7.3 заштрихована. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости через точку на линии сопряжения, будет касательной к цилиндрической поверхности

Пример 4. Построение касательных прямых и плоскостей к конической поверхности. Линией касания плоскости к конической поверхности является одна из ее образующих. Для построения плоскости, касательной к конической поверхности в заданной точке на поверхности необходимо построить образующую, проходящую через заданную точку, и в конечной точке ее, на основании, построить прямую, касательную к контуру основания. В этой плоскости можно строить прямые касательные к конической поверхности в любой точке на линии сопряжения.

Если точка задана не на поверхности, то надо задать пучок плоскостей, проходящих через образующие конуса. Для этого заданная точка А соединяется с вершиной S. Далее определяется точка N пересечения линии пучка с плоскостью основания поверхности. Прямые, проведенные из точки N по касательной к контуру основания в точках 2 и 1, фиксируют плоскости, касательные к конической поверхности, проходящие через точку А. Касательная плоскость, проходящая через образующую 2 на рис.7.4 заштрихована. В этих плоскостях можно строить касательные прямые проходящие через любую точку на линии пучка и на линии сопряжения.