6.2. Определение формы и величины плоской фигуры

Эта задача решается на основе пункта 6 из таблицы 1 свойств параллельного проецирования. Плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна какой-либо плоскости проекций, т.е. расположена в плоскости уровня. Если плоская фигура расположена не в плоскости уровня, то используя методы преобразования комплексного чертежа плоскость из любого положения можно преобразовать в плоскость уровня.

На рис.6.4 задан двухкартинный чертеж плоского треугольного отсека во фронтально проецирующей плоскости. Проекцией этого отсека на П2 является треугольник А2В2С2. На фронтальную плоскость проекций отсек проецируется в прямую линию. Чтобы треугольник проецировался в натуральную величину, плоскость его необходимо преобразовать в горизонтальную плоскость уровня, для чего нужно отсек расположить параллельно горизонтальной плоскости проекций.

На рис.6.4,а задача решена методом замены плоскостей проекций. Произведена замена горизонтальной плоскости проекций П2 на новую горизонтальную плоскость проекций П'2. Новая ось чертежа П2'/П1 проведена параллельно фронтальной проекции треугольника (А1В1С1). Из фронтальных проекций вершин треугольника проведены линии связи перпендикулярно оси П2'/П1 и на них отложены координаты Z каждой вершины, взятые вниз от старой оси П1/П2, что на рисунке показано на примере вершины В (ZB). Плоскость АВС преобразована из фронтально проецирующей, в горизонтальную плоскость уровня. На новую горизонтальную плоскость проекций П2' треугольник АВС проецируется в натуральную величину, так как плоскость его параллельна плоскости П2'.

На рис.6.4,б задача решена преобразованием чертежа методом плоскопараллельного перемещения относительно фронтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция треугольника (А1В1С1) перенесена в новое положение (A1' B1' C1') без изменения ее формы и размеров и расположена горизонтально, параллельно П2. При плоскопараллельном движении объекта относительно плоскости П1 каждая его точка сохраняет свою координату Z, перемещается в плоскости, параллельной плоскости П1, во фронтальной плоскости уровня. Зная, что след фронтальной плоскости уровня проецируется на П2 горизонтально, построим следы плоскостей для каждой вершины треугольника. Поскольку фронтальные проекции вершин известны, проведем вертикальные линии связи из фронтальных проекций вершин до встречи со следами плоскостей уровня, в которых соответствующие вершины находятся, получим новые горизонтальные проекции вершин треугольника (A2' B2' C2'). Это и будет натуральная величина треугольника, треугольного отсека плоскости.

На рис.6.4,в задача решена вращением вокруг оси, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций и проходящей через точку С. Это тоже метод плоскопараллельного перемещения, но движение точек объекта совершается не произвольно, а по строгой траектории окружностей с центрами на оси вращения. На П1 окружности проецируются в натуральную величину, а на П2 каждая из них проецируется на след фронтальной плоскости уровня, в которой перемещается соответствующая вершина треугольника. Вращение фронтальной проекции завершается в момент, когда она расположится горизонтально. Так же как и при плоскопараллельном перемещении из фронтальных проекций вершин (A1' B1' C1') проводим вертикальные линии связи до встречи со следом плоскости уровня, в которой вершина совершала вращательное движение. Новая горизонтальная проекция треугольника (A2' B2' C2') является его натуральной величиной.

Если плоская фигура занимает общее положение, то, пользуясь изложенными ранее методами преобразования чертежа, потребуется выполнение двух преобразований. В первом преобразовании плоскость, в которой расположена фигура, переводится из общего положения в проецирующую, а следующим преобразованием она переводится из положения проецирующей в положение плоскости уровня.

На рис.6.5 преобразования выполнены методом замены плоскостей проекций.

В первом преобразовании фронтальная плоскость проекций П1 заменена на новую плоскость П'1, которая расположена перпендикулярно плоскости треугольника АВС. То, что плоскости П'1 и АВС взаимно перпендикулярны, базируется на пункте 3 из таблицы 2.3 свойств Евклидова пространства. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Для реализации этого свойства в плоскости треугольника АВС проведена горизонталь h. Ось П2/П'1 расположена перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (П1/П4⊥h2), но поскольку h//П2, а П'1⊥П2, то h⊥П'1, следовательно и плоскость треугольника АВС перпендикулярна плоскости П'1 и на нее проецируется в прямую линию. Для построения проекции треугольника на новой плоскости П'1 проводим линии связи перпендикулярно новой оси и на этих линиях связи откладываем координаты Y вершин так, как показано для YB.

В следующем преобразовании плоскость П2 меняется на новую плоскость проекций П'2, и построения выполняются так, как это было сделано на рис.6.4,а. Следует обратить внимание на то, что проекции вершин на П'2 определяются координатами Z, взятыми из плоскости П2 не от старой оси П1/П2, а от новой оси П2/П'1, как показано для ZB на рис.6.5. На комплексном чертеже, в системе осей П'1/П'2 плоскость треугольника АВС параллельна П'2 и является горизонтальной плоскостью уровня, а треугольник АВС на П'2 проецируется в натуральную величину.

Такой же результат будет достигнут и при преобразовании чертежа методом плоскопараллельного перемещения, как показано на рис.6.6.

Как и при замене плоскостей проекций нужно выполнить два преобразования с использованием линии уровня плоскости треугольника. В рассматриваемом примере выбрана горизонталь.

В первом преобразовании выполняется плоскопараллельное перемещение относительно плоскости П2. На П1 каждая вершина перемещается в своей горизонтальной плоскости уровня, поэтому через каждую из них проводим горизонтальные прямые, изображающие следы соответствующих плоскостей уровня. Горизонтальная проекция не должна менять форму и размеры, но может перемещаться в любое место чертежа и располагаться произвольным образом. Расположим горизонтальную проекцию треугольника так, чтобы его горизонталь стала фронтально проецирующей прямой, h2⊥П1. В таком положении треугольник проецируется в прямую линию на П1. Для построения фронтальной проекции из горизонтальных проекций вершин проводим вертикальные линии связи до встречи с плоскостями уровня, в которых перемещаются соответствующие вершины.

Следующее преобразование переводит плоскость проецирующую в плоскость уровня. Преобразование выполняется так, как показано на рис.6.4,б. Фронтальная проекция треугольника переносится в новое положение и располагается горизонтально. Горизонтальные проекции вершин определяются на пересечении вертикальных линий связи с плоскостями движения точек соответствующих вершин.

Если плоская фигура расположена в плоскости общего положения, то ее можно преобразовать в плоскость уровня вращением вокруг прямой уровня.

Метод вращения вокруг прямой уровня является частным случаем плоскопараллельного перемещения относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Сущность методов вращения вокруг прямой уровня и проецирующей прямой одинакова. Отличие состоит в положении осей относительно плоскостей проекций. Каждая точка пространственного объекта вращается по окружности с центром на оси, в плоскости, перпендикулярной оси. Если ось – прямая уровня, то плоскости окружностей будут проецирующими на соответствующей плоскости проекций, а след их перпендикулярен проекции оси. На рис.6.7,а проиллюстрирована сущность метода. Точка N описывает окружность с центром в точке О. На П1 окружность проецируется в эллипс, а на П2 в прямую, перпендикулярную h2. Интерес представляют положения, когда точка N совмещается с вершинами эллипса. При совмещении с вершинами А и В радиус окружности проецируется в точку на П2. При совмещении с вершинами С и D радиус окружности занимает горизонтальное положение и проецируется на П2 в натуральную величину. Таким образом, если плоскость представить заданной прямой уровня и точкой, то вращением точки вокруг этой прямой можно плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня и определить натуральную величину отрезка или плоской фигуры, расположенной в плоскости, рис.6.7,б. Здесь в плоскости общего положения АВС построена горизонталь. В точках В2 и С2 построены горизонтальные следы плоскостей, в которых эти точки должны вращаться. Теперь необходимо определить натуральную величину радиуса для одной из точек В или С и отложить его в плоскости вращения этой точки, например В'2.

Затем из полученной точки В2' нужно провести прямую через точку 1 до пересечения со следом плоскости, проведенной через точку С, там и будет новое положение точки - С'2. Соединив полученные точки с точкой А2, сохранившей свое положение на оси вращения, получим натуральную величину треугольника АВС.