5.3. Пересечение геометрических объектов

При взаимном пересечении геометрических объектов образуется их общая часть, которая в самом начале данного пособия определена как граничная область. При пересечении двух линий граничной областью будет точка, или несколько точек, в зависимости от формы линий. При пересечении двух прямых линий образуется одна общая точка. При пересечении линии, в том числе и прямой, с поверхностью, граничной областью объектов так же будет точка или несколько точек. При взаимном пересечении поверхностей граничной областью является линия, несколько линий или замкнутый контур.

Для определения граничных областей пересечения геометрических объектов используются носители точек пересекающихся объектов, расположенные на одной поверхности, которая называется посредником. Посредником может быть как плоская, так и кривая поверхность. Последовательность использования посредников для выявления граничной области пересекающихся объектов можно разделить на следующие три этапа:

1. Выбирается подходящий посредник - поверхность так, чтобы он взаимодействовал одновременно и предельно просто с заданными объектами. В качестве посредника может быть использована плоскость уровня, проецирующая плоскость, плоскость общего положения, сфера, конус, цилиндр вращения или иная подходящая поверхность.

2. Определяется характер взаимодействия посредника с заданными объектами. Взаимодействие посредника с объектами выявляет носители точек для каждого из них, лежащие на поверхности посредника.

3. Определяется граничная область пересекающихся объектов. Если полученные в результате действия посредника носители точек пересекаются, то объекты имеют в окрестностях посредника общие элементы - точки. Если выявленные носители точек не пересекаются, то в окрестностях посредника общих элементов нет.

В ряде задач носители точек для определения общих элементов можно выявить на основе конкурирующих объектов, расположенных в проецирующей плоскости, которая и является посредником.

vПересечение прямой с плоскостью. На рис.5.7 задана плоскость общего положения «плоскость ΔАВС» и прямая общего положения «прямая DE». В плоскости АВС выберем прямую FК, фронтально конкурирующую с прямой DE и являющуюся носителем точек на плоскости АВС. Носителем точек на прямой DE является сама прямая. Построив горизонтальную проекцию FK, обнаруживаем, что она пересекается с ED, носители точек пересекаются и имеют общую точку М. Прямая DE имеет общую точку М с плоскостью АВС. В этой точке заданная прямая пересекается с заданной плоскостью.

Точка пересечения М является границей видимости для прямой DE относительно плоскости АВС.

Для определения видимости на горизонтальной проекции выбираем горизонтально конкурирующие точки 1 и 2. Пусть точка 1 принадлежит плоскости, а точка 2 прямой ED. Построив фронтальную проекцию этих точек, обнаруживаем, что точка 1 выше точки 2, следовательно, у нее координата Y больше, чем у точки 2, значит, на горизонтальной проекции видима точка 1 и в окрестностях выбранных точек прямая ED не видима. В точке М2 происходит смена видимости горизонтальной проекции прямой.

Для определения видимости на фронтальной проекции выберем на прямой ED точку 3, конкурирующую с точкой F плоскости. Построив горизонтальную проекцию точки 3, обнаруживаем, что координата Z у нее меньше, чем у точки F, значит, в окрестностях этих точек прямая не видима на фронтальной проекции. В точке М1 происходит смена видимости фронтальной проекции прямой.

Пересечение плоскостей. Две плоскости пересекаются по прямой линии и для ее определения достаточно выявить две любые точки этой прямой. Для плоскостей частного положения не представляется проблемой построение линии их пересечения. На рис.5.8,а заданы две фронтально-проецирующие плоскости α и β Линия их пересечения m является фронтально-проецирующей прямой и на П1 проецируется в точку на пересечении следов плоскостей. На плоскость П2 линия пересечения проецируется вертикально, как фронтально проецирующая прямая. На рис.5.8,б заданы две горизонтально проецирующие плоскости. Линией их пересечения является горизонтально проецирующая прямая n. На рис.5.8,в плоскость α фронтально проецирующая, а плоскость β - горизонтально проецирующая. Линией пересечения этих плоскостей является прямая общего положения λ . Горизонтальная проекция линии проецируется на горизонтальный след плоскости β , а фронтальная – на фронтальный след плоскости α .

На рис.5.8,г плоскость общего положения задана треугольником АВС, а плоскость α фронтальным следом.

Линия пересечения плоскости общего положения и фронтально проецирующей будет прямая l, фронтальная проекция l1 совпадает с фронтальным следом плоскости α1. В плоскости треугольника линия пересечения фиксируется на фронтальной проекции двумя точками 1 и 2. Горизонтальная проекция линии определяется по точкам 1 и 2, принадлежащим плоскости треугольника.

Пересечение плоскостей общего положения. Поскольку две плоскости пересекаются по прямой линии, то для построения этой линии достаточно определить две ее точки.

Одна из общих точек двух пересекающихся плоскостей может быть определена с помощью дополнительной плоскости – посредника, как показано на рис.5.9, или посредством конкурирующих прямых, которые формируют проецирующую плоскость, выполняющую роль посредника.

На пространственной модели (рис.5.9) заданы две плоскости. Одна плоскость Q задана пересекающимися прямыми α и β, другая, G, – параллельными прямыми c и d. В качестве посредника используются плоскость α, которая при пересечении с заданными плоскостями дает линии m (1-2) и n (3-4).

На пересечении этих линий определяются общая точка трех плоскостей М, которая является одной из точек линии пересечения заданных плоскостей Q и G.

Для определения второй точки необходимо повторить построения с любым другим посредником.

На рис.5.10 решение задачи показано на комплексном чертеже. Здесь в качестве посредников выбраны горизонтальные плоскости уровня α и β. Плоскость α пересекает заданные плоскости по прямым m и n, которые можно было выбрать как фронтально конкурирующие без упоминания о плоскости посреднике. Зафиксировав прямые m (1-2) и n (3-4) на фронтальной проекции, построим по линиям связи их горизонтальные проекции и на пересечении проекций прямых m2 и n2 найдем проекцию точки (М2), общую для заданных плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится с помощью вертикальной линии связи в плоскости α. Вторая точка N линии пересечения плоскостей определяется с помощью второго посредника, горизонтальной плоскости уровня β, в такой же последовательности, как и для плоскости α. Соединив одноименные проекции точек M и N, получим проекции линии пересечения заданных плоскостей.

Следует иметь в виду, что линия пересечения плоскостей не ограничена и является продолжением отрезка MN в обе стороны. Линия же пересечения отсеков плоскостей (треугольников, пластин) ограничена их общими точками в пределах контуров отсеков.

Пересечение поверхностей с плоскостями. При решении задачи на пересечение поверхности с плоскостью используется понятие сечения, относящегося, в принципе, к физическим объектам, телам.

Сечение тела – это изображение плоской фигуры, полученной при мысленном рассечении его одной или несколькими плоскостями. В сечении изображается то, что лежит в секущей плоскости. В сечении тела получается плоская фигура – отсек плоскости.

Применяя понятие сечения к геометрическим объектам, следует иметь в виду, что получается не фигура, а контур, а иногда и линия. Так, в сечении плоскости плоскостью получается прямая линия. В сечении сферы плоскостью всегда получается окружность.

Сечением цилиндра вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения, всегда будет окружность (1-3-2-4 на рис.5.11), равная диаметру цилиндра. В сечении цилиндра вращения плоскостью, наклоненной к оси вращения, получается эллипс, малая ось которого (1-2) всегда равна диаметру цилиндра, а большая зависит от наклона плоскости к оси цилиндра (5-6 и 7-8). В сечении цилиндрической поверхности любой формы плоскостью, проходящей параллельно образующим, получаются параллельные прямые (9-11 и 10-12). На рис.5.11 решена метрическая задача на построение натуральной величины сечений цилиндра методом плоскопараллельного перемещения.

Конические сечения – это линии, получающиеся в пересечении полного конуса вращения плоскостями различного положения относительно оси вращения и его образующих. На рис.5.12 представлена схема сечений двуполостного конуса вращения и даны названия кривых, получающихся при сечении конуса различными плоскостями.

Для получения окружности плоскость α должна быть расположена перпендикулярно оси вращения. Диаметр окружности будет тем больше, чем дальше она расположена от вершины конуса.

Для получения эллипса плоскость β должна быть наклонной к оси и пересекать все образующие. Центр эллипса находится не на пересечении плоскости с осью, а на середине отрезка, отсекаемого очерковыми образующими.

Гипербола, две ее ветви, получается при сечении двуполостного конуса вращения плоскостью γ в интервале от параллельно оси до параллельно очерку, плоскость должна захватывать обе полости.

Парабола получается при сечении плоскостью δ, параллельной какой-либо образующей, плоскость должна захватывать только одну полость.

Плоскость σ, проходящая через вершину конуса, рассекает его по пересекающимся в вершине прямым линиям в двух полостях.

На рис.5.13,а приведен пример построения сечения пирамиды фронтально проецирующей плоскостью α. В сечении многогранника плоскостью получается многоугольник, число вершин которого соответствует числу ребер, пересекаемых плоскостью. В данном примере пирамида трехгранная и в сечении получился треугольник. Однако мог бы получиться и четырехугольник, если бы секущая плоскость пересекла два боковых ребра и два ребра основания. Для построения многоугольника сечения необходимо определить точки пересечения ребер с секущей плоскостью и соединить их. На приведенном рисунке построена плоская фигура, сечение пирамиды как тела, и решена метрическая задача – определена натуральная величина фигуры сечения методом плоскопараллелного перемещения. Аналогично решается задача при построении сечения конической поверхности плоскостью, только вместо ребер следует выбрать достаточное количество образующих и, обязательно тех, которые имеют опорные точки.

На рис.5.13,б приведен пример построения сечения цилиндрической поверхности общего вида горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция сечения цилиндрической поверхности совпадает с горизонтальным следом секущей плоскости и ограничена очерковыми образующими цилиндрической поверхности (точками 1 и 6).

Для построения фронтальной проекции линии пересечения необходимо выбрать ряд образующих, зафиксировать на них точки, общие для поверхности и плоскости и перенести их по линиям связи на фронтальные проекции соответствующих образующих так, как это выполнено на рис.5.13. Чем больше образующих будет выбрано, тем точнее получится форма контура сечения. Следует иметь в виду, что при произвольном выборе образующих, сечение не может получиться правильным и точным, если упущены опорные точки. Опорные точки необходимо определять и при построении линии пересечения поверхностей.

Опорными называются точки, которые имеют принципиальное значение для формы контура сечения и его изображения на проекциях. Это границы видимости, точки излома и вершины линий.

Границы изменения видимости на чертеже. Эти точки всегда расположены на очерках и очерковых образующих. В приведенном примере четыре очерковые образующие: две на горизонтальной проекции, и на них указаны точки 1 и 6, и две на фронтальной, на них указаны точки 2 и 5.

Точки излома и сопряжения. Это точки, в которых происходит переход от одной линии к другой. Они получаются, как правило, на пересечении двух поверхностей. Переход может быть плавным, т.е. сопряженным, или ломаным. В примере с пирамидой (рис.5.13,а) точки на ребрах являются точками излома. В сечении цилиндрической поверхности (рис.5.13,б) нет точек излома, но они могли бы быть, если бы секущая плоскость захватила основание цилиндра.

Вершины линий. Это точки геометрических вершин линий, например эллипса, а так же наиболее высокие и наиболее низкие, левые и правые на изображении. В приведенном примере (рис.5.13,б) такие точки не показаны, но можно определить самую высокую и самую низкую точки, если выявить самый длинный и самый короткий отрезки образующих, отсекаемых плоскостью от основания цилиндрической поверхности. Нужно построить касательную прямую к основанию поверхности на горизонтальной проекции параллельно следу секущей плоскости, а образующую провести из точек касания.

На рис.5.13,б фронтальная проекция сечения построена с учетом видимости линий. Сечение представлено плоской фигурой, как для тела, и решена метрическая задача по определению натуральной величины сечения методом плоскопараллельного перемещения.

Аналогично решается задача при построении сечения призмы, только число точек для построения будет ограничено числом ребер, пересекаемых секущей плоскостью.

Если секущая плоскость занимает общее положение, то можно преобразовать чертеж так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей. Но имеются способы решения такой задачи без преобразования чертежа.

Пересечение прямой линии с поверхностью. Для определения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямая заключается в плоскость, которая может быть как проецирующей, так и плоскостью общего положения. Далее необходимо построить контур пересечения посредника с поверхностью и на пересечении прямой с контуром сечения будут определены искомые точки.

На рис.5.14,а приведен пример построения точек пересечения прямой l с пирамидой. В качестве посредника выбрана фронтально-проецирующая плоскость α, фронтальный след которой совпадает с фронтальной проекцией прямой. В сечении пирамиды плоскостью α получается треугольник 1-2-3. В точках пересечения горизонтальной проекции контура сечения и проекции прямой находятся проекции искомых точек M2 и N2. Фронтальная проекция точек пресечения определяется с помощью вертикальных линий связи по принадлежности их прямой или поверхности.

Таким же образом можно определить точки пересечения прямой с конической поверхностью, но для большей точности контура сечения придется выбрать достаточно большое число образующих. В целях упрощения построений в качестве посредника можно выбрать плоскость общего положения, проходящую через прямую и вершину конической поверхности. В этом случае коническая поверхность рассекается по двум образующим - прямым линиям.

На рис.5.14,б представлен пример построения точек пересечения прямой линии со сферой. Прямая заключена в горизонтально-проецирующую плоскость α. В сечении сферы будет окружность, но фронтальной ее проекцией будет эллипс. В целях упрощения построений чертеж преобразован методом замены плоскостей проекций. Плоскость П1 заменена на новую П'1. На новую плоскость окружность сечения проецируется в натуральную величину, и на пересечении ее с новой проекцией прямой находятся проекции искомых точек M'1 и N'1. На новой плоскости можно было бы ограничиться только проекциями сечения и прямой, не изображая контур сферы.

Взаимное пересечение кривых поверхностей. В задачах на взаимное пересечение поверхностей используются плоскости посредники частного или общего положения, а так же кривые поверхности – сферические, цилиндрические или конические. Из всех возможных посредников в данном пособии используются секущие плоскости частного положения и концентрические сферы.

Последовательность решения задач на пересечение поверхностей такая же, как и для пересечения плоскостей. Выбирается посредник, определяются контуры сечения его с заданными поверхностями, и там, где пересекаются контуры сечений от одного посредника, находятся точки линии взаимного пересечения.

Метод секущих плоскостей. В качестве посредника используется плоскость частного или общего положения в зависимости от того, какое из решений будет наиболее удобным и простым. Решение задачи упрощается, если хотя бы одна из поверхностей является проецирующей (плоская или цилиндрическая). На рис.5.15,а пересекаются горизонтально проецирующий и фронтально проецирующий цилиндры вращения. На этих проекциях никаких построений не требуется, так как проекции линии пересечения, проходящей через точки 1-3-2-4, на П1 и на П2 совпадают с контурами оснований цилиндров. На профильной проекции линия пересечения будет иметь сложный криволинейный контур.

На рис.5.15,б пересекаются конус вращения и фронтально-проецирующий цилиндр вращения, представленный верхней половиной. Для решения задачи удобно воспользоваться горизонтальными плоскостями уровня (α, β и т. д.) так как они пересекают конус по окружностям, а цилиндр по прямолинейным образующим. В данном примере фронтальная проекция линии пересечения определена, она расположена на той части контура основания цилиндра, которая отсекается контуром конуса, правее от точки 1 (2 и 3, 4 и 5, 6 и 7). Для построения горизонтальной проекции линии пресечения достаточно воспользоваться принадлежностью ее точек конусу. В качестве носителей точек можно использовать как образующие, так и параллели. В приведенном примере использованы параллели, одна из них обозначена R. Точка 1 определена как лежащая на очерковой образующей, это граница видимости для фронтальной проекции и самая высокая точка линии. Точки 2 и 3 также являются опорными, это точки излома.

В примере на рис.5.15,в показано построение линии пересечения конуса вращения и сферы, представленной верхней своей половиной. Здесь ни одна из поверхностей не является проецирующей, поэтому построения необходимо выполнить как на горизонтальной, так и на фронтальной проекциях. Для решения задачи воспользуемся горизонтальными плоскостями уровня (α, β и т. д.), которые будут перпендикулярными осям вращения заданных поверхностей и должны пересекать их по окружностям – параллелям. В каждой секущей плоскости будет две параллели (для каждой из поверхностей) и там, где они пересекаются, будут общие точки заданных поверхностей. Опорными в данной задаче являются точки: 1- граница видимости на фронтальной проекции и вершина линии пересечения; 2 и 3 - точки излома.

В приведенных примерах нет необходимости определять видимость линии пересечения, так как видимая часть закрывает невидимую. При определении видимости линии пересечения на проекциях любая контрольная точка будет невидимой, если она невидима относительно одной из поверхностей.

Метод концентрических сфер. Для построения линии пересечения поверхностей вращения, в особых случаях, удобно использовать в качестве посредников концентрические или эксцентрические сферы.

Сущность метода концентрических сфер наглядно представлена на рис.5.16. Если центр сферы расположить на оси поверхности вращения, то она пересечется с этой поверхностью по окружностям.

Образующая сферы и образующая поверхности вращения расположены в одной плоскости и пересекаются. При вращении вокруг одной и той же оси точка их пересечения также описывает окружность – параллель, общую для сферы и поверхности вращения. Так, в пересечении сферы с цилиндром получается две одинаковые окружности. В пересечении сферы с конусом образуются окружности разного диаметра: ближе к основанию – большая, ближе к вершине – меньшая. В пересечении с однополостным конусом может получиться одна окружность. Для выбора граничных значений сфер нужно уметь определять положение вписанной сферы. Радиус вписанной в цилиндр сферы равен радиусу цилиндра. Соприкасается эта сфера с цилиндром по экватору. Радиус вписанной в конус сферы равен кратчайшему расстоянию от центра сферы на оси конуса вращения до очерковой образующей. На рис.5.16,а,б вписанные сферы изображены тонкими линиями.

На рис.5.16,в показан механизм действия метода концентрических сфер, для использования которого требуются определенные условия. Обе поверхности должны быть поверхностями вращения, оси поверхностей должны лежать в одной плоскости (пересекаются), и эта плоскость должна быть плоскостью уровня. В таком случае параллели поверхностей проецируются в прямые линии на одну из плоскостей проекций. Из точки пересечения осей поверхностей проводится сфера и определяются линии пересечения ее с каждой из поверхностей. На одной сфере получается несколько окружностей от пересечения ее с поверхностями. В точках пересечения окружностей на поверхности сферы и будут находиться общие точки пересекающихся поверхностей вращения, точки линии их пересечения.

В начале решения задачи необходимо определиться с граничными значениями концентрических сфер. Минимальной сферой является большая из двух, вписанных в пересекающиеся поверхности из точки пересечения осей. Минимальная сфера должна соприкасаться с одной поверхностью и пересекать другую. Максимальная сфера должна иметь окружности от пересечения с поверхностями, которые на сфере пересекаются. Размер радиуса максимальной сферы определяется расстоянием от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения контуров поверхностей.

На рис.5.17 приведено решение задачи на пересечение конуса и цилиндра вращения, оси которых пересекаются и расположены во фронтальной плоскости уровня. Здесь R1 соответствует минимальному значению, R2 – максимальному, а R - промежуточному значению радиусов рабочих сфер. Сфера R пересекает конус по окружностям, проецирующимся на П1 в отрезки Е1 Ф1 и M1 N1 , а цилиндр пересекается этой же сферой по окружности, проецирующейся в отрезок А1 В1 . Пересечение трех окружностей дает четыре общие точки линии пересечения поверхностей 5, 6, 7 и 8. Построение остальных точек выполняется аналогично. Точки 1 и 2 определяются на пересечении контуров и являются опорными.

Построение горизонтальной проекции линии пересечения сводится к построению ее как совокупности точек, принадлежащих поверхности конуса. В качестве носителей можно использовать как образующие, так и параллели. При этом особое внимание следует обратить на нахождение положения опорных точек, определяющих границу видимости линии на горизонтальной проекции (на рис 5.17 точки 9 и 10). Как правило, при построении фронтальной проекции они не обнаруживаются, и только после того, как точки будут соединены, проекции искомых точек следует выбрать на пересечении проекции построенной линии с проекцией оси цилиндра, которая совпадает с проекцией очерковой образующей.

Пересечение многогранников. До сих пор мы рассматривали задачи на взаимное пересечение односложных кривых поверхностей. При пересечении составных поверхностей необходимо контролировать опорные точки на границах пересечения трех поверхностей. Многогранники являются составными поверхностями, и точки пересечения ребер одного многогранника с гранью другого являются общими точками трех поверхностей (плоских граней).

Линией пересечения многогранников является плоский или пространственный контур из отрезков прямой. Линией пересечения многогранника с односложной кривой поверхностью также будет ломаная, но отрезки могут быть как прямыми, так и кривыми.

На рис.5.18 представлено решение задачи на пересечение двух многогранников - призм, одна из которых (АВС) является горизонтально-проецирующей. На горизонтальной проекции линия пересечения расположена на контуре проецирующей призмы и отсекается контуром второй призмы. Линия пересечения распадается на два контура. Правый контур – плоский треугольник 2-4-6, а левый – пространственный пятиугольник 1-7-3-5-8-1. Точки 1....6 определены на пресечении ребер наклонной призмы с гранями проецирующей, а точки 7 и 8 находятся как точки пересечения ребра А с гранями наклонной призмы. Последовательность соединения контура, состоящего из трех отрезков, не представляет затруднений. Последовательность соединения контура из отрезков более трех требует обоснования. Последовательность соединения точек линии пересечения поверхностей определяется посредством обхода оснований. На примере пересечения призм это следует сделать так. Имена точек, в нашем случае цифровые обозначения, необходимо по ребрам или вспомогательным прямым перенести на контур основания наклонной призмы, как показано на рис.5.18 цифрами со штрихами. Теперь необходимо обойти по контуру основания по часовой или против часовой стрелки, начиная с любой точки и записать таблицу последовательности соединения точек: 1-7-3-5-8-1. В такой последовательности следует нанести контур на фронтальной проекции тонкой линией, так как необходимо определить видимость точек и, соответственно, отрезков контура. Точка будет видимой, если она видима относительно обеих призм. Отрезок будет видимым только тот, у которого обе точки концов видимы. Видимые линии на представленном чертеже изображены основными, а невидимые штриховыми.