5.1. Взаимная параллельность и перпендикулярность объектов

Такие геометрические свойства как параллельность и перпендикулярность объектов характерны в первую очередь для прямых линий и плоскостей. Через посредство взаимной параллельности и перпендикулярности прямых линий определяется параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей.

Применительно к линейчатым поверхностям можно говорить о параллельности или перпендикулярности прямой или плоскости ко всем образующим, или к одной из образующих.

Поверхности не линейчатые не обладают свойствами параллельности и перпендикулярности, однако они обладают свойствами сопряженности, связанными с построениями нормалей и касательных прямых, касательных плоскостей.

Взаимно параллельные прямые. Взаимная параллельность прямых определена пунктом 3 таблицы 2.1 свойств параллельного проецирования: проекции параллельных прямых параллельны. Поскольку комплексный чертеж располагает только проекциями прямых, то признаком взаимной параллельности их на чертеже является параллельность одноименных проекций. Если прямые взаимно параллельны в пространстве, то их проекции на любую основную или дополнительную плоскость проекций будут параллельны. На рис.5.1 представлен двухкартинный чертеж параллельных прямых a // b: (а1//b1, а2//b2).

Прямая, параллельная плоскости. Параллельность прямой и плоскости основана на свойстве параллельных прямых. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой либо прямой, принадлежащей плоскости. Для построения на чертеже прямой, параллельной заданной плоскости, нужно в плоскости выбрать любую прямую и параллельно ей через фиксированную или произвольную точку в пространстве провести прямую, так чтобы одноименные проекции были параллельны. На рис.5.2 задана плоскость общего положения «плоскость ΔАВС» и в произвольной точке пространства построены прямые а и b, параллельные этой плоскости. Прямая а параллельна прямой АС, а прямая b параллельна прямой ВС. В плоскости АВС можно построить любую другую прямую и параллельно ей построить прямую в пространстве. Таким образом, в любой точке пространства можно построить множество прямых параллельных заданной плоскости и все они будут лежать в плоскости параллельной заданной.

Параллельные плоскости. Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны, соответственно, двум пересекающимся прямым другой плоскости. На рис.5.2 пересекающиеся прямые а и b задают плоскость «плоскость ab», параллельную заданной «плоскость ΔАВС». В любой точке пространства можно построить только одну плоскость, параллельную заданной. При этом выбор пересекающихся прямых не ограничен. Можно использовать имеющиеся прямые в заданной плоскости, как это сделано на рис.5.2, или построить новые, наиболее удобные для решения задачи. Часто бывает удобно воспользоваться пересекающимися прямыми уровня плоскости (горизонталь и фронталь).

Взаимно перпендикулярные прямые. Взаимно перпендикулярными могут быть как пересекающиеся, так и скрещивающиеся прямые. В соответствии с пунктом 2 таблицы 2.3 свойств Евклидова пространства, две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной другой прямой. Таким образом, если плоскость α перпендикулярна некоторой прямой l, то любая прямая, лежащая в плоскости α, перпендикулярна прямой l. Для построения на чертеже взаимно перпендикулярных прямых используется пункт 2 табл. 2.2 свойств ортогонального проецирования: если прямые взаимно перпендикулярны и одна из них параллельна плоскости проекций, то их проекции на эту плоскость взаимно перпендикулярны. На чертеже одну из прямых нужно расположить параллельно какой-либо плоскости проекций, α тогда любая другая прямая, перпендикулярная ей, пересекающаяся или скрещивающаяся, проецируется на эту плоскость под прямым углом, как показано на рис.5.3.

Здесь прямая h (горизонталь) параллельна горизонтальной плоскости проекций, а прямые m, n и l, расположенные перпендикулярно h в пространстве, на П2 проецируются под прямым углом к h2, независимо от положения их фронтальной проекции. Прямые m и n расположены в одной горизонтально-проецирующей плоскости, а прямая l расположена в другой горизонтально-проецирующей плос-кости.

Прямая, перпендикулярная плоскости. Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости определена пунктом 1 таблицы 2.3 свойств Евклидова пространства: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Решение задачи на построение перпендикуляра к плоскости или плоскости, перпендикулярной заданной прямой проводится на основе свойств взаимно-перпендикулярных прямых.

Для построения прямой, перпендикулярной заданной плоскости, в заданной плоскости выбираются две взаимно пересекающиеся прямые уровня (горизонталь и фронталь) и относительно проекций этих прямых ориентируются проекции перпендикуляра.

Плоскость, перпендикулярная прямой, задается на чертеже двумя пересекающимися прямыми уровня этой плоскости (горизонталью и фронталью).

На рис.5.4,а построен перпендикуляр n из заданной точки К к заданной плоскости АВС. В плоскости АВС построены горизонталь h и фронталь f. Горизонтальная проекция перпендикуляра n2 проведена из К2 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h2, а фронтальная проекция перпендикуляра n1 проведена перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f1 из К1.

На рис.5.4,б построена плоскость, перпендикулярная заданной прямой n. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми уровня f и h. Фронтальная проекция горизонтали и горизонтальная проекция фронтали проводятся через точку К горизонтально (параллельно оси Х) независимо от положения прямой n. Фронтальная проекция фронтали и горизонтальная проекция горизонтали проводятся перпендикулярно одноименным проекциям прямой n (f1⊥n1, h2⊥n2).

Взаимно перпендикулярные плоскости. Взаимная перпендикулярность плоскостей определяется пунктом 3 таблицы 2.3 свойств Евклидова пространства: две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Перпендикуляр к плоскости определяет не одну, а пучок плоскостей, перпендикулярных заданной. Для построения плоскости, перпендикулярной заданной необходимо построить перпендикуляр к плоскости так, как это выполнено на рис.5.4,а и из пучка плоскостей выделить ту, которая нужна, зафиксировав ее точкой, не лежащей на перпендикуляре, прямой, пересекающейся с перпендикуляром или параллельной ему.