1.1. Происхождение и классификация объектов

Основоположник начертательной геометрии Гаспар Монж, определяя предназначение этой науки, говорил об изображении на двумерном листе чертежа любых трехмерных тел природы, т.е. физических трехмерных объектов.

Со времен Гаспара Монжа начертательная геометрия получила развитие и специализацию применительно к различным областям знаний. Одним из ответвлений начертательной геометрии является черчение, которое призвано дать методы построения изображений физических трехмерных объектов на чертеже на основе закономерностей, установленных начертательной геометрией и по правилам, установленным стандартами.

Современная начертательная геометрия занимается не телами, а геометрическими моделями тел и их элементов, представленных точками, линиями и поверхностями.

На рис.1.1,а представлено тело в форме параллелепипеда с вырезом четверти,а на рис.1.1,б его геометрическая (поверхностная) модель из плоских граней, ребер и вершин. Если вырезать часть тела, как показано на рисунке, то на месте среза получим новые грани. Видеть тело изнутри нельзя, внутри не пусто. Если вырезать часть геометрической модели параллелепипеда, то открывается доступ во внутрь модели, внутри как бы пусто. На рис.1.1,б показаны видимыми изнутри две грани и ребро в пересечении этих граней. Напомним, что начертательная геометрия пренебрегает материалом, который может заполнять замкнутое пространство, поэтому замкнутое пространство не заполненное каким либо материалом можно назвать геометрическим телом.

Поскольку объекты начертательной геометрии имеют непосредственное отношение к телам природы, то и происхождение их следует увязывать не с математическими понятиями и закономерностями, а с физическими объектами. Объектами начертательной геометрии являются граничные области тела, представляемые геометрическими элементами - примитивами.

Геометрический примитив – это воображаемый элемент граничной области тела. На рис.1.2 показана геометрическая фрагментация граничных областей тела параллелепипеда.

Двумерная граничная область тела, отделяющая его от окружающего пространства называется гранью, а воображаемый элемент – поверхностью (1). Одномерная граничная область пересечения двух различных участков поверхности тела (граней) называется ребром, а воображаемый элемент линией (2). Нульмерная граничная область пересечения трех граней называется вершиной, а ее воображаемый элемент - точкой (3). Грани тела не обязательно должны быть плоскими, а ребра прямыми линиями. Тело может иметь любое количество граней, в том числе и одну, например шар.

На рис.1.3 представлена геометрическая фрагментация тела цилиндра вращения. Это трехгранное тело ограниченное цилиндрической боковой гранью, воображаемой как цилиндрическая поверхность 1 и двумя плоскими гранями оснований, воображаемыми как плоскости - круги 2. Пересечение цилиндрической грани и плоских граней оснований образуют ребра – воображаемые кривые линии - окружности 3.

Представленное на рисунке тело не имеет вершин и не формирует ни одну точку, вместе с тем, на ребре можно разместить множество точек, а на поверхности множество линий и точек.

Геометрические элементы тела не существуют в отрыве от него, но в начертательной геометрии допускается абстрагирование и представление точки, линии и поверхности как самостоятельных геометрических объектов.

Геометрический элемент тела ограничен областью его существования, фигурой, а абстрагированный геометрический объект может простираться в пространстве без ограничения.

Геометрические объекты классифицируются по их однородности на односложные - примитивы и составные, как показано в табл.1.1.

В начертательной геометрии три односложных объекта - примитива, это нульмерная точка, одномерная линия и двумерная поверхность.

В табл.1.1 серым фоном выделены примитивы не имеющие дальнейшей классификации: это точка, прямая и плоскость. Стрелками отмечены те примитивы и составные объекты, классификация которых может быть продолжена за рамки приведенной таблицы.

Классификация по внешним признакам и способам формирования поверхностей частично рассматривается в данном учебном пособии. Классификация кривых линий в данном пособии рассматривается только по отношению к плоскости. Более подробно – в курсе черчения.

Если в математике родоначальником геометрических объектов является точка, а линия и поверхность рассматриваются как упорядоченная совокупность (множество) точек, то в начертательной геометрии родоначальником геометрических объектов является поверхность, как граничная область тела, а линии и точки рассматриваются как граничные области пересечения поверхно-стей.

К составным объектам относятся геометрические фигуры, содержащие объекты различной мерности, например: отрезок одномерной линии ограниченный на концах нульмерными точками, ломаная из отрезков линий, двумерный отсек поверхности ограниченный одномерными линиями и нульмерными точками, многогранники, и т.д. Некоторые односложные ограниченные геометрические объекты (точка, окружность, сфера) являются фигурами.

Объект меньшей мерности может принадлежать объекту большей мерности и не быть граничной областью. Например, точка на гладком участке линии не являющаяся концом отрезка или вершиной фигуры, линия на гладком участке поверхности не являющаяся ребром, точка, принадлежащая поверхности, но не являющаяся вершиной.

Если представлять граничные области тела абстрактно, как геометрические объекты безотносительно самого тела, то они в начертательной геометрии должны быть определены и представлены физическими и графическими моделями (образами).

Несмотря на то, что родоначальником разновидностей геометрических объектов является поверхность, их описание и классификацию удобнее начать с точки, так как она не имеет классификационных признаков.