Если при проведении с одинаковой тщательностью и в одинаковых условиях ряда наблюдений одной и той же физической величины получены отличающиеся друг от друга результаты, то это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. Каждая такая погрешность обусловлена одновременным воздействием на результат наблюдения многих случайных возмущений и сама является случайной величиной. При этом оценить результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. С определенной долей уверенности можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в интервале результатов наблюдений от х_min до х_max, где х_min, х_max — соответственно нижняя и верхняя границы интервала. Вместе с тем остается неясным, чему равна вероятность появления того или иного значения погрешности, какое из множества лежащих в этом интервале значений величины принять за результат измерения и какими показателями охарактеризовать случайную по¬грешность результата.

Чтобы ответить на эти вопросы, необходим совершенно иной, чем при анализе систематических погрешностей, подход. Этот подход базируется на рассмотрении результатов наблюдений, результатов измерений и случайных составляющих погрешностей как случайных величин. Методы теории вероятностей и математической статистики позволяют установить вероятностные (статистические) закономерности появления случайных погрешностей и на основании этих закономерностей дать оценки результата измерения и его случайной погрешности.

Чтобы удобнее было анализировать точность измерений, ниже предполагается, что абсолютная погрешность результата измерений является случайной, т. е. Δ = Δ°, и обозначается Δ.

Для описания свойств случайной величины в теории вероятностей используют понятие закона (функции) распределения вероятностей случайной величины (в данном случае случайной погрешности Δ). Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии преимущественно используется дифференциальная форма — закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона распределения плотности вероятностей случайной величины с помощью гистограммы на примере измерений с многократными наблюдениями (рис. 3.1).

Пусть проведено п последовательных измерений одной и той же физической величины х и получена группа ее значений х₁, х₂, х₃, ..., х_n. Расположим результаты наблюдений в порядке возрастания их номеров от х_min до х_max и затем найдем размах ряда X=х_max – х_min.

Рис. 3.1. Гистограмма распределения результатов ряда наблюдений

Разделив размах ряда на k равных интервалов Δ_х = Х/k, подсчитаем количество наблюдений nk одинаковых значений величины х, попадающих в свой интервал Δ_х .

Представим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины х и обозначив границы интервалов с одинаковыми ее значениями, а по оси ординат — относительную частоту попаданий туда этих значений ρ_k = n_k/n. Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов Δх, а высотой ρ_k = n_k/n, получим диаграмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте. Площадь, заключенная под графиком, пропорциональна числу наблюдений п. Построенная на рис 3.1 диаграмма называется гистограммой и характеризует распределение числа результатов измерений исследуемой величины в зависимости от их значения. Ее максимум находится при истинном значении измеряемой величины. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие серединам этих интервалов, находятся на оси абсцисс.

Если распределение случайной величины х статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях наблюдений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий ее значений в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что, построив гистограмму один раз, при последующих сериях наблюдений можно с определенной долей уверенности заранее предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам.

При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой. При бесконечном увеличении числа наблюдений n>∞ и бесконечном уменьшении ширины интервалов Δх > 0 ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую ρ(х) (см. рис. 3.1), называемую кривой одномерной плотности распределения вероятностей (одномерной плотностью вероятностей) случайной величины, а уравнение, описывающее ее, — дифференциальным законом распределения. Кривая плотности вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию нормировки

(3.5)

Закон распределения дает полную информацию о свойствах случайной величины и позволяет ответить на поставленные вопросы о результате измерения и его случайной погрешности.

Если перейти от переменной х, т. е. измеряемой величины, к переменной Δ, отражающей случайную погрешность, то дифференциальный закон (плотность вероятностей) распределения случайной погрешности Δ можно записать в общепринятом виде:

(3.6)

где dF(Δ) — вероятность нахождения значений погрешности Δ в интервале dΔ.

Интегральным законом распределения случайной погрешности Δ называют функцию F(Δ_r), выражающую вероятность Р того, что случайная погрешность находится в интервале от - ∞ до некоторого значения, меньшего граничного Δ_r:

(3.7)

Функция F(Δ_r) неубывающая и определена так, что F(-∞) = 0 и F(∞) = 1. Интерес представляет поиск вероятности Р, с которой погрешность измерений находится в заданном интервале погрешностей (Δ_r1 Δ_r2), где Δ_r1 и Δ_r2— нижняя и верхняя границы этого интервала. Записывают вероятность как Р(Δ_r1 ≤ Δ ≤_г2) и в общем случае 0≤ Р ≤ 1. Если Р = 0,6 и выполнено 100 измерений, то считают, что 60 значений Δ попадают в интервал (Δ_r1, Δ _r2). Для определения вероятности Р(Δ_r1 ≤ Δ ≤_г2) можно использовать и интегральный и дифференциальный законы распределения. Между законами имеется такая связь:

(3.8)

В практических расчетах чаще применяют дифференциальный закон, так как он более наглядно описывает свойства случайной по¬грешности.

Из физических представлений следует, что вероятность нахождения погрешности на интервале всех возможных ее значений, т. е. на интервале (-∞,∞), равна

(3.9)

Часто необязательно описывать случайную погрешность с помощью законов распределения плотности вероятностей, а достаточно охарактеризовать числами отдельные ее свойства. Такие числовые характеристики называют моментами. Напомним, что моменты являются начальными, если величины отсчитывают от начала координат, и центральными, если величины отсчитывают от центра распределения.

Для рассматриваемых ниже симметричных законов p(Δ) применяется в основном центральный момент второго порядка, называемый дисперсией:

(3.10)

Дисперсия D характеризует рассеяние погрешностей относительно центра распределения Δ= 0.

Поскольку дисперсия D имеет размерность квадрата погрешности измерения, то обычно используют среднее квадратическое отклонение, σ=√D которое имеет размерность самой погрешности.

В метрологии при анализе случайных погрешностей (равно и при анализе случайных величин) чаще применяют нормальный (Гаусса) закон, а также закон распределения Стьюдента.

Нормальный закон распределения погрешностей применяют при следующих предположениях:

* погрешность может принимать непрерывный ряд значений в интервале ± ∞

* при выполнении значительного числа наблюдений большие погрешности Δ появляются реже, чем малые, а частота появления погрешностей, идентичных по абсолютной величине и противоположных по знаку, одинакова.

(3.11)

Плотность вероятностей для нормального закона распределения погрешностей имеет вид представленный на рис. 3.2.

(3.12)

Отметим геометрическую интерпретацию вероятности распределения случайных погрешностей (3.12). На графике, представленном на рис. 3.2, для конкретного значения СКО σ вероятность численно равна площади S заштрихованной фигуры, ограниченной функцией р(Δ), отрезком оси погрешностей Δ от -Δ_r до Δ_r и ординатами р(-Δ_r), р(Δ_r). Чем шире заданный интервал погрешностей (-Δ_r, Δ _r), тем больше площадь S, т. е. выше вероятность попадания случайных погрешностей измерений Δ в этот интервал. Для интервала случайных погрешностей (-∞, ∞) вероятность Р (- ∞ ≤ Δ ≤ ∞) = 1.

(3.13)

Чтобы вычислить вероятность (3.12), удобнее в интеграле ввести новую переменную t = Δ/σ. При этом его верхний предел интегрирования заменяется на z = Δ_г/σ, а правая часть выражения (3.12) преобразуется в известный, табулированный интеграл Ψ(z), называемый интегралом вероятностей:

Функция Ф(z), называемая в математике функцией Лапласа, выражает вероятность попадания случайной величины t в интервал (0, z). Значения интеграла вероятностей Ψ(z) приведены в табл. 3.1.

Если задавать границу погрешностей Δ_r в значениях СКО &963, то легко определить параметр z= Δ_r/σ, а затем искомую вероятность по таблицам функции Ψ(z). Можно выполнить и обратный поиск, т. е. по заданной вероятности и функции Ψ(z) определить параметр z, далее Δ_r = zΔ и интервал (-Δ_r,Δ_r). По табл. 3.1 находят вероятности (3.9) для имеющих практическое значение интервалов погрешностей (-Δ_r, Δ_r), представленных в СКО σ:

Общепринято, что погрешность результатов измерений в 2σ/3 названа равновероятной (так как при этом Р = 0,5). Погрешность, равную 3σ, считают за максимальную и ее записывают в виде М = 3σ. Из тысячи выполненных измерений при Р = 0,997 только три их погрешности σ выходят за пределы интервала (-3σ, 3σ).

Закон распределения Стьюдента (математик Р.А. Фишер на¬звал такое распределением законом Стьюдента — псевдонимом B.C. Госсета, предсказавшего распределение) удобен при обработке результатов небольшого числа (2 ≤ n ≤ 20) многократных наблюдений и справедлив, когда плотность вероятности случайных погрешностей распределена по нормальному закону. Закон описывает распределение плотности вероятности p(t_x) случайной величины

(3.15)

Этот закон учитывает число выполненных наблюдений n и задается функцией

(3.16)

На рис. 3.3 приведены графики закона распределения Стьюдента (семейство распределений Стьюдента) вида (3.13) для различного числа наблюдений n. Для сравнения на этом же рисунке показан график нормированного нормального распределения p_н(t), у которого СКО σ = 1, а случайная относительная погрешность (в данном случае — нормированная) t= Δ/σ принята равной t_x.

Из анализа графиков, представленных на рис. 3.3, следует, что закон распределения Стьюдента при числе наблюдений n > 20 практически совпадает с нормальным нормированным законом p_н(t), а при n>20 отличается от него тем значительнее, чем меньше n. Отличия законов состоят в увеличении рассеяния погрешностей t_x относительно их центра t_x= 0 по мере уменьшения числа наблюдений n. При этом следует ожидать уменьшения вероятности Р попадания относительных случайных погрешностей t_x в некоторый заданный интервал (- t_r, t_r).

Для поиска подобной вероятности достаточно подставить соотношение (3.13) в формулу, аналогичную (3.6), но в которой переменная Δ заменена на относительную t_x, а пределы интеграла Δ_r1 и Δ_r2 — на равные относительные ± t_r= ±Δ _г/σ.

Параметр tr называют в математике коэффициентом Стьюдента и для него принято специальное обозначение. При расчетах случайных погрешностей измерений задают некоторую доверительную вероятность РД = Р и число проводимых наблюдений n. Поэтому этот коэффициент обозначают через t(PД,,n). Значения коэффициента Стьюдента приведены в табл. 3.2.