4. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

4.1. Момент инерции

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отдельные точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Основы кинематики вращательного движения были изложены в разделе 1.5.

            Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента инерции.

Моментом инерции I материальной точки называется скалярная физическая величина, определяемая произведением ее массы  на квадрат радиуса окружности , по которой она может двигаться относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО‛ (рис.4.1,а)

                                      .

а)                                                                           б)

Рис.4.1. К определению понятия момента инерции

Если твердое тело, вращающееся относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО', представить в виде системы материальных точек массой  и просуммировать моменты инерции этих так называемых элементарных масс, то получим момент инерции всего тела                                       

где – радиус вращения  i–й элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 4.1,б). Для однородных             тел, для которых плотность  (где  – масса тела, а – его объем, т.е. плотность определяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формуле       

, т.е.  .

            Ниже приведены значения моментов инерции для некоторых однородных тел правильной формы с массой  относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Таблица 2

Моменты инерции тел правильной формы

            Для определения момента инерции тела относительно произвольной оси используется теорема Штейнера.

Теорема Штейнера: если известен момент инерции тела  относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его I_o), то момент инерции тела
относительно   любой   параллельной   ей   оси   ZZ'  (обозначим его )  равен

,

где  –  масса тела;  d – расстояние между осями (рис.4.2).

4.2. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки. При вращательном движении роль массы  выполняет момент инерции , а вместо линейной скорости  выступает угловая скорость , и формула кинетической энергии при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси приобретает вид:

.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

,

где  - масса катящегося тела;  - скорость центра масс тела;
  - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;  - угловая скорость тела.

4.3. Момент силы. Уравнение динамики

вращательного  движения твердого тела

Моментом силы  относительно неподвижной точки О
называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А  приложения силы, на силу   (рис.4.3): 

.

            Модуль момента силы равен  , где  – угол между  и , - плечо силы  (l – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы (см. рис. 4.3)).

Направление вектора  совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его кратчайшем повороте от  и .

Моментом силы  относительно неподвижной оси z  называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора  момента силы , определенного относительно произвольной точки О данной оси z.

Работа при вращении тела вокруг неподвижной оси z равна произведению момента  действующей силы относительно данной оси на угол поворота :

.

            Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

,  но  ,

поэтому

 или  .

            Учитывая, что , получаем

.                                 (4.1)

Уравнение (4.1) представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции (смотри раздел 4.5), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

,

где - главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси). Таким образом, направление совпадает с направлением . 

4.4. Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса  материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора  этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса :

 ,

где - масса материальной точки;  – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении.

 Вектор  направлен так же, как и вектор угловой скорости , т.е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта (рис. 4.4).

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси z, представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела относительно этой оси ( – скалярная величина).

Суммирование производим по всем элементарным массам  (имеющим линейную скорость  и радиус вращения ), на которые разбивается тело. Так как , где ω - угловая скорость вращения тела, а  - момент инерции тела относительно данной оси, тогда момент импульса тела относительно оси z равен 

,

т.е.

                                       .                                      (4.2)                       

В случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, векторы
  и   имеют одинаковое направление и тогда

.

Продифференцируем выражение  (4.2) по времени:

,

в итоге

 .                                      (4.3)

            Таким образом, производная по времени от момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.

Выражения (4.2) и (4.3) – еще две формы основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z.

            Можно показать, что имеет место векторное равенство:

                                 .                                              (4.4)

            Из уравнения (4.4) видно, что если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

            Если , то 

                              (4.5)

            Выражение (4.5) представляет собой закон сохранения момента импульса.

Для замкнутой системы тел закон сохранения момента импульса формулируется так: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

            Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его
изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол.

4.5. Свободные оси. Гироскопы

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Но существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно показать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела.

Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней; главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом отношении гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью. Гироскопы применяют в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т.д.), а также в различных автопилотах.

4.6. Сопоставление формул кинематики и динамики
 поступательного и вращательного движений

            На рис.4.5 представлены направления векторов линейной
скорости , угловой скорости  и псевдовектора угла поворота  при вращательном движении.

            На рис.4.6 представлены направления векторов линейной
скорости  , тангенциального , нормального  и полного  ускорений в случае равноускоренного  (см. рис.4.6,а) и равнозамедленного (см. рис.4.6,б) вращательных  движений.

а)	б)

Рис.4.6. Связь между векторами  и

В табл.3 и 4 приведено сопоставление формул кинематики и динамики поступательного и вращательного движений.

Таблица 3

Сопоставление формул кинематики

поступательного и вращательного движений

Таблица 4

Сопоставление формул кинематики

поступательного и вращательного движений

Продолжение табл.4

Окончание табл.4