3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

3.1. Работа. Мощность. Механическая энергия

Энергия - универсальная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Для количественного описания процесса изменения механической энергии тела под влиянием приложенных к нему сил вводят понятие работы силы.

Элементарной работой  силы  на малом перемещении точки  приложения силы называется скалярное произведение на :

,                        (3.1)

где  и – радиус-вектор и скорость точки ; – малый промежуток времени, в течение которого сила  совершает работу .

,

где - путь точки  за малое время ; - угол между силой  и элементарным перемещением ; - проекция силы на направление .

            Из (3.1) видно, что работа под действием силы не совершается в двух случаях:

1) точка приложения силы неподвижна ();

2) , то есть .

Рис.3.1. К определению понятия «работа силы»

.

Если зависимость  от пути  вдоль траектории 1-2 представить графически (рис.3.2), работа  определяется на графике как площадь заштрихованной фигуры.

Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж – работа, совершаемая телом под действием силы 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 Н·м).

            Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:

.

Рис.3.2. Работа на участке траектории ()

            За время сила совершает работу , и мощность, развиваемая телом под действием этой силы в данный момент времени

.

            Мощность – величина скалярная; единица мощности – ватт (Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа
1 Дж (1 Вт =1 Дж/с).

3.2. Консервативные и диссипативные силы

            Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей.

            Стационарное поле, в котором работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути, по которому она двигалась, называют потенциальным. Силы, действующие в  потенциальных полях, называют консервативными. Работа консервативной силы на замкнутом пути равна нулю. Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости.

            Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется неконсервативной (или диссипативной). Типичные неконсервативные силы – силы трения.

3.3. Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая энергия  механической системы – это энергия механического движения этой системы.

            Работа  силы  на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до , идет на увеличение кинетической энергии  тела, т.е.

.

Но ,

откуда

 .

Таким образом, тело массы , движущееся со скоростью , обладает кинетической энергией

.

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Так, энергия системы из n материальных точек равна сумме кинетических энергий этих материальных точек

.

Потенциальная энергия  – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией  Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии системы:

.

            Но , тогда  и потенциальную энергию системы можно найти как

,

где - постоянная интегрирования, то есть потенциальная энергия может быть определена с точностью до некоторой произвольной постоянной. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то положении полагают равной нулю, а энергию в других положениях отсчитывают относительно этого нулевого уровня (за нулевой уровень можно принять, например, уровень пола, уровень моря и т.д.).

            Для консервативных сил

  или ,(3.2)

где

                                           (3.3)

            Вектор, определяемый выражением (3.3), называется градиентом  скаляра

Таким образом, выражение (3.2) показывает, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком.

Потенциальная энергия тела массой , поднятого на высоту  над поверхностью Земли, равна

,

где  высота  отсчитывается от уровня, для которого

            Потенциальная энергия упругодеформированного тела (пружины)

.

            Полная механическая энергия  системы – сумма кинетической и потенциальной энергий системы:

.       

3.4. Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему из n материальных точек массами , движущихся со скоростями  (<<). Пусть  и - равнодействующие внутренних и внешних консервативных сил, действующих на -ю точку, а  - равнодействующая внешних неконсервативных сил, действующих на -ю точку. Уравнения второго закона Ньютона для этих точек:

............................................

.

За интервал  точки совершают перемещения . Умножим каждое уравнение на соответствующее перемещение и учитывая, что , получим

..................................................................

.

Сложив эти уравнения, получим

.

Здесь  – приращение кинетической энергии системы;  -  работа внутренних и внешних консервативных сил, взятая с обратным знаком, равная приращению потенциальной энергии системы; - работа внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Итак, имеем

 .

Изменение полной механической энергии при переходе системы из состояния 1 в состояние 2 равно работе внешних неконсервативных сил:

.

            Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то , откуда

,                           (3.4)

т.е. полная механическая энергия системы сохраняется. Выражение (3.4) представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

            Механические системы, где действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. В консервативных системах полная механическая энергия остается постоянной, могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. В частности, этот закон справедлив и для замкнутых консервативных систем.

            В диссипативных системах механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) виды энергии. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В системе, где действуют также неконсервативные силы, полная механическая энергия не сохраняется, и закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой.

Отметим, что закон сохранения энергии – фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

3.5. Применение законов сохранения энергии и импульса

к соударению абсолютно упругих и неупругих тел

Соударение (удар) – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Ударные силы столь велики, что внешними силами можно пренебречь; это позволяет систему тел в процессе соударения рассматривать как замкнутую и применять к ней законы сохранения.

Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций (механическая энергия не переходит в другие, немеханические виды) и вся кинетическая энергия, которой тела обладали до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. В этом случае выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров. Обозначим скорости шаров массами  и  до удара  и , после удара –  и  (рис.3.3). Законы сохранения импульса и энергии при этом имеют вид:

.

            Решая эти уравнения, находим

 , .

Рис.3.3. Абсолютно упругий удар двух тел

            Частные случаи:

1)  если , то  и  (шары обмениваются скоростями). Например, при столкновении первого шара с неподвижным вторым () первый шар останавливается (), а второй движется со скоростью первого () (рис.3.4).

2)    если >> (столкновение шара со стенкой),, (скорость стенки не изменится). При столкновении шара с неподвижной стенкой () получим , то есть шар отскакивает с первоначальной скоростью, меняя направление на противоположное.

Рис.3.4. Абсолютно упругий удар тел с равными массами

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела движутся вместе либо покоятся. Кинетическая энергия тел полностью или частично переходит в их внутреннюю энергию. В этом случае выполняется закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не выполняется, выполняется закон сохранения суммарной энергии – механической и внутренней.

Рассмотрим центральный абсолютно неупругий удар двух шаров массами и , имеющих до удара скоростии . После удара они будут двигаться с общей скоростью  (рис.3.5), которую найдем из закона сохранения импульса:

,     .              

Рис.3.5. Абсолютно неупругий удар двух тел

            Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.