12. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ

12.1. Теория атома водорода по Бору

• Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний):

В атоме существуют стационарные состояния, находясь в которых он не излучает и не поглощает энергии.

• Второй постулат Бора (правило частот):

При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается фотон с энергией
,
где – энергии стационарных состояний атома соответственно до и после излучения (поглощения), – частота излученного (поглощенного) кванта энергии.

• Условие квантования орбит: момент импульса электрона кратен h

  (n= 1, 2, 3,…),
где  – масса электрона, U– скорость электрона на n - й  орбите, радиус которой равен , – постоянная Планка.

• Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода:

 ,
где V – частота спектральных линий в спектре атома водорода;
R= 3,29 • 1015 1/с - постоянная Ридберга; m – определяет серию линий в спектре атома водорода:
m = 1 - серия Лаймана (расположена в ультрафиолетовой части спектра);
m= 2 - серия Бальмера (расположена в видимой части спектра);

n= (m+1)(n+1) – определяет отдельные линии соответствующей серии m. 

• Радиус n - й  орбиты электрона в атоме водорода:

,
где • с - постоянная Планка; -  электрическая постоянная; – заряд электрона, m- масса электрона.

• Энергия n стационарного состояния

,
где n – номер стационарной орбиты.

• Потенциал ионизации

• Потенциал возбуждения

.
12.2. Элементы квантовой механики

• Длина волны де Бройля

,
где  – постоянная Планка, p = mU– импульс частицы.

• Связь импульса релятивистской частицы с кинетической энергией

,
гдеm – масса частицы, T- кинетическая энергия.

• При малых скоростях .
• Соотношение неопределенностей Гейзенберга

        ,
.

• Уравнение Шредингера:

- нестационарное (общее);
 - стационарное;
- стационарное для линейного гармонического  осциллятора,

- стационарное для кулоновского поля;
- стационарное для электрона в атоме  водорода;
- стационарное для свободной частицы в  трёхмерном  пространстве;
- стационарное для свободной частицы в   одномерной потенциальной яме ,
где  – волновая функция микрочастицы
 - оператор Лапласа (записан в декартовых координатах), m– масса микрочастицы, H

h – постоянная Планка, = мнимая единица.

• Условие нормировки волновой функции

     .

• Плотности вероятности

    ,
где dW(x)– вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой x на участке dx, dW(x)- вероятность обнаружения микрочастицы в объёме dW.

• Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2

.

• Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика шириной
  i(0 ? x ? i)

            (собственная нормированная волновая функция)
 (собственное значение энергии),
где n – главное квантовое число ( n = 1, 2, 3,…). В области  0 ? x ? i

• Коэффициент прозрачности (коэффициент прохождения)  прямоугольного потенциального барьера

,
где D- постоянный коэффициент, близкий к единице, m- масса частицы, U- высота потенциального барьера, E- энергия частицы, i- ширина барьера

• Для частиц с целочисленными спинами (бозонов) справедлива статистика Бозе-Эйнштейна, а для частиц с полуцелыми спинами (фермионов) справедлива статистика Ферми-Дирака. Обобщенное уравнение для квантовых статистик

,
где - среднее число частиц в состоянии с номером i, - энергия частицы в этом состоянии;

, т. е. сумма всех частиц равна полному числу N частиц в системе, знак минус (-) перед единицей в знаменателе соответствует статистике бозонов (распределению Бозе-Эйнштейна, а знак плюс (+) соответствует статистике фермионов (распределению Ферми - Дирака).

12.3. Квантовые свойства атомов, молекул и твердых тел

• Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид:

,
где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …), i– орбитальное (азимутальное) квантовое число (i = 0, 1, 2, …, (n – 1)), m– магнитное квантовое число (m= 0, ±1, ±2, …, ± i),  - радиальные функции, а - сферические функции.
Квантовые числа n, i, m являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.

• Квантовое магнитное спиновое число ms  (ms=±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.
• Принцип Паули: в атоме не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел n, i,m, ms) более одного электрона.
• Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10…, где числа (n = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …, а буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу (i= 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f - состояния (электронные подоболочки) атома, числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.
• Закон Мозли

,
где V – характеристические частоты спектра; R=3,29•10151/с – постоянная Ридберга; z – заряд ядра атома в относительных единицах;
 - постоянная экранирования; m=1,2,3 определяет рентгеновскую серию, n = (m+1)(m+2) определяет отдельные линии в соответствующей серии m.

• При o=0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов

.
При o = 0  и  z = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.

• Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулой вещества

 ,
где ?Wэл., ?Wкол. и ?Wвр. – разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней энергий молекулы.

• Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

 ,
где - нулевая энергия; h- постоянная Планка; w- круговая частота колебаний осциллятора; k– постоянная Больцмана; T– термодинамическая температура.

• Внутренняя энергия одного моля системы невзаимодействующих квантовых осцилляторов

,
где R – молярная газовая постоянная; – характеристическая температура Эйнштейна.

• Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

      ,
где - характеристическая температура Дебая.

• Молярная теплоёмкость твёрдого тела при высоких температурах

• Распределение свободных электронов в металле по энергия при 0 К

,
где dn(E)- концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от E до (E+dE); m – масса электрона. Это выражение справедливо при Е < ЕF  (ЕF – энергия или уровень Ферми).

• Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

,
где n – концентрация электронов в металле.

• Средняя энергия электронов в металле при T -> 0

.

• Удельная проводимость собственных полупроводников

,
- константа.

• Сила тока в p-n -  переходе

,
где Io – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к  p-n - переходу.

• Связь между глубиной Uпотенциальной ямы и работой выхода A из металла и полупроводника.

,
где - максимальная энергия электрона в яме.

• Внутренняя контактная разность потенциалов

,
где  и - энергия Ферми соответственно для первого и второго металла или полупроводника; е - заряд электрона.