1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Уравнение гармонических колебаний

,
где X – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний,- фаза колебаний, w0– круговая (циклическая частота), t – время,  – начальная фаза колебаний.
,
где V– частота колебаний, – период колебаний.

• Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

,
- амплитуда скорости (максимальное значение);
,
- амплитуда ускорения (максимальное значение).
При ф0 = 0 графики зависимостей х(t), v(t), a(t) представлены на рис. 1(а,б,в), соответственно.

• Возвращающая сила

,
где – коэффициент упругой (квазиупругой) силы, m – масса материальной точки;
- амплитуда силы (максимальное значение).

• Кинетическая энергия колеблющейся точки

-амплитуда кинетической энергии (максимальное значение).

              а                                               а

              б                                              б

              в                                                в
Рис. 1                                      Рис. 2

• Потенциальная энергия колеблющейся точки

-амплитуда потенциальной энергии     (максимальное значение).
При ф0 = 0 графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени представлены на рис. 2а и 2б, соответственно.

• Полная энергия при гармонических колебаниях (рис. 2в)

.

• Уравнения гармонических колебаний могут быть заданы функциями синуса или косинуса. В таблице 1 даны значения скорости, ускорения, силы и энергии в обоих случаях.

Таблица 1

• Периоды колебаний:

– математический маятник  (l– длина нити);
– пружинный маятник (m – масса тела, k– коэффициент жесткости);
 – физический маятник (I– момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, определяется по теореме Штейнера, m– масса тела,d– расстояние от точки подвеса до центра масс).

Пример: Однородный диск радиусом R = 0,2 м колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии d = 0,15 м от центра диска. Определить период T колебаний диска относительно этой оси (рис. 3).

Период определяется по формуле , где (нашли по теореме Штейнера).  Тогда
          Рис. 3

• Уравнение затухающих колебаний (рис. 4)

,
где A0– амплитуда колебаний в начальный момент времени,B– коэффициент затухания, - зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени, -частота затухающих колебаний, - частота собственных колебаний, - период затухающих колебаний.

•   Уравнение вынужденных колебаний, совершаемых под действием периодически изменяющейся силы

, где
 - амплитуда вынужденных колебаний;
- начальная фаза вынужденных колебаний;
 и - частоты собственных и вынужденных колебаний .

•   Резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при частоте, близкой к частоте собственных колебаний.
• Амплитуда при резонансе

.

• Резонансная частота

.

Дифференциальные уравнения колебаний
- гармонические,

- затухающие,
- вынужденные.

• Уравнение колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления, амплитуды колебаний которых A1 и A2, а начальные фазы A
• Ф1  и Ф2,

, где
-
амплитуда результирующего колебания,  - разность фаз слагаемых колебаний;  начальная фаза результирующего колебания определяется  формулой
.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно­ перпенди­кулярных колебаниях с одинаковыми частотами

:
а) если , то  - уравнение прямой,
б) если , то  - уравнение прямой,
в) если , то  - уравнение эллипса, приведённого к осям,
г) если  и , то  - уравнение окружности, где R- радиус окружности.