8. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

• Закон Кулона

где  – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов  и в вакууме;  – расстояние между зарядами;  – электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость вещества (для вакуума )

• Напряженность и потенциал электростатического поля

;          ,         или       ,
где  - сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля;  - потенциальная энергия заряда  в электростатическом поле;  - работа по перемещению заряда   из данной точки поля за пределы поля.

• Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда  на расстоянии  от заряда

;           .

• Поток вектора напряженности через площадку

,
где  - вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью  к площадке;  – составляющая вектора  по направлению нормали  к площадке (); -угол между векторами  и .

• Поток вектора напряженности через произвольную поверхность

.

• Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность (рис. 14)

.

Рис.14.

• Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

;      ,
где ,  - соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом .

• Направление вектора напряжённости , создаваемого точечным зарядом (рис. 15):

Рис.15

Напряженность электрического поля, созданного двумя разноимёнными зарядами в точках А, В и С (рис. 16):

Рис.16.

В точке А: .
В точке В: .
В точке С: .

• Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

, или ,
где , ,  - единичные векторы координатных осей. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала (рис. 17).

Рис.17.

• Направление вектора градиента потенциала в точке А (рис.18):

Рис.18.

• В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией

.

• Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Вектор напряжённости направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности.
• Электрический момент диполя (дипольный момент)

,
где  - плечо диполя (рис. 19).  

Рис.19.
Напряженность поля на продолжении оси диполя на расстоянии от центра диполя        
,
Напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из ее середины на расстоянии
.

• Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов, т.е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины, поверхности и объема:

;          ;         .

• Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

,

где  - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ;  – число зарядов.
Если заряд распределён внутри замкнутой поверхности непрерывно с объёмной плотностью , то

Примеры. 1. Определить поток  вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечный заряд (рис. 20).

;
Рис.20.
По теореме Гаусса
.
2. Как изменится поток через ту же поверхность, если внутрь поместить ещё один заряд  (рис. 21)?

Рис.21.

По теореме Гаусса
,
т.е. поток уменьшится вдвое и станет отрицательным.
3. Как изменится поток через данную поверхность, если около неё поместить любой заряд  на расстоянии (рис. 22)?

Рис.22.

Поток не изменится, так как заряд  находится вне поверхности.

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

.

• Напряжённость поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными  разноимённо заряженными плоскостями:

                                 – между плоскостями;
             – вне плоскостей.

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической  поверхностью радиусом  с общим зарядом  на расстоянии  от центра сферы,

                                       при  (внутри сферы);
                         при  (вне сферы).

• Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом Rс общим зарядом q на расстоянии rот центра шара,

                          при  (внутри шара);
                           при  (вне шара).

• Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным проводящим бесконечнодлинным цилиндром (нитью) радиусом  на расстоянии  от оси цилиндра,

               при  (внутри цилиндра);
                           при  (вне цилиндра).

• Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда  из точки 1 в точку 2,

,   или   ,
где  – проекция вектора  на направление элементарного перемещения ;  и  – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

• Работа сил электростатического поля не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки, по замкнутому пути работа равна нулю.
• Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, следовательно, это поле потенциальное

.
Линии напряжённости электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.

• Вектор поляризации  диэлектрика:

,
где  - объем диэлектрика;  - дипольный момент -й молекулы;    - число молекул диэлектрика в объеме .

• Связь между векторами поляризации и напряженности электростатического поля внутри диэлектрика

æ,
где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

• Связь диэлектрической проницаемости e с диэлектрической восприимчивостью æ

= 1+æ.

• Связь между напряженностью  поля в диэлектрике и напряженностью  внешнего поля

                                   , или .

• Связь между векторами электрического смещения () и  напряжённостью электростатического поля (): 

• Связь между , и :    

.

• Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

,
где  – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ;  – составляющая вектора  по направлению нормали  к площадке ;  – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью  к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.

• Электроемкость уединенного проводника и конденсатора:

, ,
где  – заряд, сообщенный проводнику;  – потенциал проводника; , – разность потенциалов между пластинами.

• Электроемкость шара 

,
где r– радиус шара.

• Электроемкость плоского конденсатора

,
где  – площадь пластины конденсатора;  – расстояние между пластинами.

• Электроемкость цилиндрического конденсатора

,
где  – длина обкладок конденсатора;  и  - радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.

• Электроемкость сферического конденсатора

,
где  и  - радиусы сферических обкладок конденсатора.

• Электроемкость системы конденсаторов соответственно при последовательном (а) и параллельном (б) соединениях:

а);
б),
где  – электроемкость  – го конденсатора;  - число конденсаторов.

• Энергия уединенного заряженного проводника

.

• Потенциальная энергия системы точечных зарядов

,
где  – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд  всеми зарядами, кроме -го.

• Энергия заряженного конденсатора

,
где  – заряд конденсатора;  – его емкость;  – разность потенциалов между обкладками.

• Сила притяжения между обкладками плоского конденсатора

.

• Энергия электростатического поля плоского конденсатора

,
где  – площадь одной пластины;  – разность потенциалов между пластинами;  – объем области между пластинами конденсатора.

•  Объемная плотность энергии электростатического поля

,
где  – электрическое смещение; - напряжённость поля.

• Если конденсатор заряжен до разности потенциалов () и отключен от источника тока, то при изменении расстояния между пластинами заряд на них неизменен, т.е. .

            Если конденсатор не отключен от источника тока, то при изменении расстояния между пластинами неизменна разность потенциалов, т.е. .