6. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения

Отрезок прямой общего положения не параллелен ни одной плоскости проекций и, следовательно, заранее можно сказать, что его проекция на любую плоскость будет меньше, чем его действительная величина. Длина отрезка тем меньше, чем больше угол наклона прямой к соответствующей плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения используют различные способы преобразования чертежа (проекций), которые позволяют заданной прямой общего положения занять в пространстве частное положение, что упрощает решение задачи. Рассмотрим два из этих способов: способ замены плоскостей проекций и способ вращения.

Способ замены плоскостей проекций подразумевает введение дополнительной плоскости проекций, параллельной данному отрезку прямой. При замене плоскостей проекций изменяют в пространстве положение только одной из имеющихся плоскостей проекций, а другую плоскость проекций оставляют без изменения. Новую плоскость проекций располагают обязательно перпендикулярно плоскости проекций, оставшейся без изменения. Таким образом получается новая система ортогональных (взаимно перпендикулярных) плоскостей проекций. Решим несколько задач способом замены плоскостей проекций.

Задача 3. Определить натуральную величину отрезка АВ (рис.21).

1) Заменим плоскость П₂ на П₄, которая должна быть перпендикулярна П₁ и параллельна отрезку АВ, тогда проекция отрезка АВ на плоскость П₄ будет равна натуральной величине отрезка: А₄В₄ АВ. Проведем параллельно A₁ B₁ новую ось x₁₄ - ось пересечения плоскостей П₁ и П₄ (рис.22).

2) Через точки A₁ и B₁ проведем линии связи перпендикулярно оси x₁₄ .

3) На линиях связи отложим координату z точки А (Аx₁₂A₂= Аx₁₄А₄) и координату z точки В (Вx₁₂В₂ = Вx₁₄В₄), получим проекции А₄ и В₄.

4) Соединив проекции А₄ и В₄, получим новую фронтальную проекцию отрезка АВ, которая равна его натуральной величине (Н.В.).

Задача 4. По горизонтальной и фронтальной проекциям отрезка ВС (рис.23) определить его натуральную величину и углы наклона его к плоскостям проекций П₁ и П₂.

1) Заменим плоскость П₂ на П₄, которая перпендикулярна П₁ и параллельна отрезку ВС. Для этого проведем параллельно B₁С₁ новую ось x₁₄ - ось пересечения плоскостей П₁ и П₄ и затем, как в предыдущей задаче, определим натуральную величину отрезка ВС. Угол – это угол наклона данного отрезка прямой к плоскости П₁.

2) Заменим плоскость П₁ на П₅, которая перпендикулярна П₂ и параллельна отрезку ВС. Для этого проведем параллельно B₂С₂ новую ось x₂₅ - ось пересечения плоскостей П₂ и П₅.

3) Через точки В₂ и С₂ проведем линии связи перпендикулярно оси x₂₅ .

4) На линиях связи отложим координату Y точки B (Bx₁₂B₁= Bx₂₅B₅) и координату Y точки C (Cx₁₂C₁=Cx₂₅C₅), получим проекции B₅ и C₅.

5) Соединив проекции B₅ и C₅, получим новую горизонтальную проекцию отрезка ВС, которая равна его натуральной величине. Угол – это угол наклона данного отрезка прямой к плоскости П₂.

Способ вращения позволяет изменять положение исследуемого элемента (точки, отрезка прямой, плоской фигуры и др.) относительно плоскостей проекций путём его вращения вокруг некоторой неподвижной оси. Ось вращения обычно располагают перпендикулярно одной из плоскостей проекций, поэтому данный способ преобразования чертежа часто называют вращением вокруг проецирующей прямой. При вращении исследуемого элемента вокруг проецирующей прямой каждая точка элемента перемещается по окружности радиусом R, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а следовательно, параллельна этой плоскости проекций. Если ось вращения проходит через какую-либо точку элемента, то эта точка во вращении не участвует и остаётся неподвижной. Например, точка А (рис. 24), вращаясь вокруг оси j, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций, движется по окружности радиусом R, плоскость которой параллельна плоскости П1, и будет проецироваться на неё без искажения, в натуральную величину. На плоскость П₂ плоскость окружности проецируется в отрезок прямой, по длине равный диаметру окружности и параллельный оси ОХ.

Задача 5. Способом вращения определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям проекций П₁ и П₂ (рис.25, а и б).

1) Через точку А мысленно проводим ось вращения, перпендикулярную плоскости П₂ и вращаем отрезок АВ до положения, когда он станет параллельным плоскости П₁. При этом точка А перемещаться не будет, так как она лежит на оси вращения, а фронтальная проекция точки В будет двигаться по окружности радиусом R=А₂В₂ до положения Горизонтальная проекция точки В будет перемещаться по прямой, параллельной оси ОХ , и перейдёт в положение В новом положении отрезок АВ станет параллельным плоскости П₁ и будет проецироваться на неё в натуральную величину.

2) Соединив проекции А₁ и получим новую горизонтальную проекцию отрезка АВ, которая равна его натуральной величине.

3) Угол между новой горизонтальной проекцией и осью ОХ равен углу наклона отрезка АВ к плоскости П₂ (рис. 25, а).

4) Через точку А мысленно проводим ось вращения, перпендикулярную плоскости П₁ и вращаем отрезок АВ до положения, когда он станет параллельным плоскости П₂. При этом точка А перемещаться не будет, так как она лежит на оси вращения, а горизонтальная проекция точки В будет двигаться по окружности радиусом R₁=А₁В₁ до положения Фронтальная проекция точки В будет перемещаться по прямой, параллельной оси ОХ, и перейдёт в положение В новом положении отрезок АВ станет параллельным плоскости П₂ и будет проецироваться на неё в натуральную величину.

5) Соединив проекции А2 и получим новую фронтальную проекцию отрезка АВ, которая равна его натуральной величине.

6) Угол между новой фронтальной проекцией и осью ОХ равен углу наклона отрезка АВ к плоскости П₁ (рис. 25, б).

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения относится к метрическим задачам. Решение большинства из них подробно изучается в программе вузовского курса «Начертательная геометрия». В плане расширения программы довузовской подготовки иностранных студентов по курсу «Инженерная графика» рассмотрим несколько метрических задач.