Главная страница
Содержание
 
 

6. Виды функций

6.1)Функция y=kx

Функция y=kx, где k≠0, называется прямой пропорциональной зависимости, число к – коэффициент пропорциональности.

6.1.1) Свойства функции ;

  1. Д(f)=R, x∈R.
  2. E(f)=R, y∈R.
  3. y=0, при x=0, функция имеет только одну точку пересечения с осями координат (0;0).
  4. Функция нечетная, так как y(−x)=−y(x) ее график симметричен относительно начала координат.
  5. При k>0 - функция монотонно возрастает на всей области определения.
    При k<0 - функция монотонно убывает на всей области определения.
  6. Функция не имеет экстремумов.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция не имеет периода.
  9. График функции – прямая линия.

6.2) Функция y=kx+b

Функция вида y=kx+b, k≠0 , называется линейной, где к – угловой коэффициент.

6.2.1) Свойства функции y=kx+b

  1. Д(f)=R, x∈R.
  2. E(f)=R, y∈R.
  3. y=0, kx+b=0, x=−; x=0; y=b. График пересекает оси координат в двух точках (−;0)(0;b)
  4. Функция общего вида: y(−x)≠y(x); y(−x)≠−y(x)
  5. При k>0 - функция монотонно возрастает на R.
    При k<0 - функция монотонно убывает на R.
  6. Функция не имеет экстремумов.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция не имеет периода.
  9. График функции – прямая линия.

6.3) Функция y=

Функция вида y= (k≠0) называется обратной пропорциональной зависимостью, где k - коэффициент обратной пропорциональности.

6.3.1) Свойства функции y=

  1. Д(f)=(−∞;0)∪(0;+∞).
  2. E(f)=(−∞;0)∪(0;+∞).
  3. Функция не имеет нулей.
  4. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.
  5. При k>0 функция монотонно убывает в каждом интервале из области определения, так как при x2>x1⇒f(x2)>f(x1).
    При k<0 функция монотонно возрастает в каждом интервале области определения.
  6. Функция не имеет экстремумов.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция не имеет периода.
  9. График этой функции – гипербола.
    График функции не пересекает осей координат, но ветви гиперболы неограниченно приближается к ним. Говорят, что оси ОХ и ОУ – асимптоты гиперболы.

6.4) Функция y=

Функция вида y= называется дробно-линейной функцией, где числитель и знаменатель – линейные функции (a≠0, b≠0, c≠0, d≠0)
Разделив числитель на знаменатель, получим y=, x=−, y= - асимптоты.

6.4.1) Свойства функции y=

  1. Д(f)=(−∞;−)∪(−;+∞).
  2. E(f)=(−∞;−)∪(−;+∞).
  3. Функция общего вида.
  4. y=0; x=−; x=0; y=. График пересекает оси координат в двух точках (−;0) и (0;).
  5. При a>0 график функции убывает.
    При a<0 график функции возрастает.
  6. Максимума и минимума функция не имеет.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция периода не имеет.
  9. График функции гипербола.

6.5) Квадратичная функция

Функция вида y=ax2+bx+c называется квадратичной функцией, где a, b, c – const, a≠0, х – переменная.
Рассмотрим частные случаи квадратичной функции.

6.5.1) Функция y=ax2 (a≠0)

6.5.1.1) Свойства функции y=ax2 (a≠0)

  1. Д(f)=R.
  2. E(f)=[0;+∞).
  3. Функция имеет один нуль: y=0 при x=0 .
  4. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ОУ.
  5. Если a>0, то при x∈(−∞;0) функция монотонно убывает; при x∈(0;+∞) функция монотонно возрастает.
    Если a<0, то при x∈(−∞;0) функция монотонно возрастает; при x∈(0;+∞) функция монотонно убывает.
  6. Функция имеет минимум ymin=0 при a>0; функция имеет максимум ymax=0 при a<0 в точке x=0.
  7. Функция y=ax2 ограничена снизу, ax2≥0, при a>0; ограничена сверху, ax2≤0, при a<0.
  8. Функция периода не имеет.
  9. График функции – парабола.

6.5.2) Функция y=ax2+bx+c, (a≠0)

Квадратичную функцию можно записать в виде: y=a(x-m)2+n.

Преобразуем квадратный трехчлен:
,
где

Получаем:
- вершина параболы.

6.5.2.1) Свойства функции y=ax2+bx+c, (a≠0)

  1. Д(f)=R.
  2. Если a>0, то E(f)=(−;+∞).
    Если a<0, то E(f)=(−∞;−).
  3. y=0; если b2-4ac<0, то функция нулей не имеет;
            если b2-4ac=0, то функция имеет нуль при x=−;
            если b2-4ac>0, то функция имеет два нуля:
            x1=; x2=;
  4. Если b≠0, то функция ни четная, ни нечетная;
    при b=0 функция четная.
  5. При a>0 функция убывает на промежутке (−∞;−) и возрастает на промежутке (−;+∞).
    При a<0 функция возрастает на промежутке (−∞;−) и убывает на промежутке (−;+∞).
  6. При a>0 функция имеет наименьшее значение при x=−; которое есть минимум функции, ymin=. Наибольшего значения нет.
    При a<0 функция имеет наибольшее значение при x=−; которое есть максимум функции, ymax=. Наименьшего значения функция не имеет.
  7. При a>0 функция ограничена снизу, y≥.
    При a<0 функция ограничена сверху, y≤.
  8. Функция периода не имеет.
  9. График квадратичной функции y=ax2+bx+c есть парабола, а точка
    (−;) - вершина параболы.

6.6) Построение графиков – схем некоторых функций

Иногда необходимо построить не точный график, а график – схему, это значит, нужно определить форму графика, найти экстремумы и точки пересечения с осями координат и координатной плоскости.

6.6.1) График – схема функции y= - гипербола

1. Найдем вертикальную и горизонтальную асимптоты. Для этого определим область определения и область значения функции:

Д(y)=R{−}⇒ x=− - вертикальная асимптота;

E(y)=R{}⇒ x= - горизонтальная асимптота.

(Найдем обратную функцию

cxy+dy=ax+b

cxy-ax=bdy

x(cy-a)=b-dy

x=

Из формулы видно, что y≠ ).

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

с ОХ: для этого решим уравнения: y=0 ⇒ =0 ⇒ ax+b=0 ⇒ x=−
(−;0) - точка пересечения с осью ОХ.

с ОУ: для этого подставим в формулу функции значения х=0.
x=0 ⇒ y==0 ⇒ y=
(0;) - точка пересечения с осью ОУ

По асимптотам x=−; y= и точкам (0;);(−;0)
Строим график – схему – гиперболу.

6.6.2) График – схема функции y=ax2+bx+c, (a≠0) парабола

1. Найдем форму параболы. Для этого определим знак коэффициента а.

Если a>0 ветви параболы направлены вверх.

Если a<0 ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы по формуле: O'(−;−) , где Д=b2-4ac.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
с ОХ: для этого решим квадратное уравнение.
y=0 ⇒ ax2+bx+c=0.

Имеем три варианта:

Если Д=b2-4ac>0 , график пересекает ось ОХ в двух точках
(;0);(;0).

Если Д=0, то график пересекает ось ОХ в одной точке (она вершина параболы) (−;0).

Если Д<0, то график не пересекает ось ОХ (либо весь находится в I, II квадратах, либо – в III, IV).

с ОУ: для этого подставим в формулу функции значение x=0.

x=0 ⇒ y=a⋅0+b⋅0+c ⇒ y=c.

(о;с) – точка пересечения параболы с осью ОУ.

По форме, вершине и точкам пересечения с осями координат строим график – схему – параболу.

Например 2. Построить график – схему функции

График функции – парабола.

1. a=1>0 значит ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем вершину параболы.

Тогда

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

с ОХ: y=0 ⇒ x2−x−6 ⇒ x1,2= ⇒ x1=3 x2=2 .

Имеем (3;0) и (-2;0) – точки пересечения параболы с осью ОХ.

с ОУ: x=0 ⇒ y=−6.

Имеем (0;-6) – точка пересечения параболы с осью ОУ.

Построим схему параболы.

6.7) Функция y=ax

Функция вида y=ax, где a>0 и a≠0, называется показательной функцией.

6.7.1) Свойства функции y=ax

  1. Д(f)=R.
  2. E(f)=[0;+∞).
  3. x=0, y=1. Одна точка пересечения с осью ОУ:(0;1).
  4. Функция общего вида, так как a−x≠ax и a−x≠−ax.
  5. Если a>1, функция возрастает на всей области определения.
    При 0<a<1 функция убывает на всей области определения.
  6. Экстремума нет.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция периода не имеет.
  9. График функции:

6.8) Функция y=logax

(читают: «Функция игрек равен логарифму числа х по основанию а).
Функция вида y=logax, где a>0, a≠0, - это функция, обратная к показательной функции y=ax.

6.8.1) Свойства функции y=logax

  1. Д(f)=(0;+∞).
  2. E(f)=R.
  3. y=0, x=1. Одна точка пересечения с осью ОХ(1;0).
  4. Функция общего вида.
  5. Если a>1, функция возрастает на промежутке (0;+∞).
    При 0<a<1, функция убывает на промежутке (0;+∞).
  6. Экстремума нет.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция периода не имеет.
  9. График функции:

6.9) Тригонометрические функции

Функции вида y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x - называются тригонометрическими функциями.

6.9.1) Свойства функции y=sin x;

  1. Д(f)=R.
  2. E(f)=[−1;1].
  3. y=0 при x=πk, k∈Z; x=0 при y=0. Точки (πk;0), где k∈Z, - нули функции.
  4. Функция y=sin x - нечетная, sin(−x)=−sin(x). График симметричен относительно начала координат.
  5. Функция y=sin x возрастает при x∈, k∈Z, и убывает при x∈, k∈Z.
  6. Функция y=sin x имеет минимальные значения, равные −1,
    при x=, k∈Z, и максимальные значения, равные 1,
    при x=, k∈Z.
    (Ymax=1 при x=; Ymin=−1 при x=).
  7. Функция ограничена: |sin x|≤1.
  8. Функция y=sin x - периодическая. Наименьший положительный период равен 2π, sin(x±2π)=sin x.
  9. График функции – синусоида.

6.9.2) Свойства функции y=cos x;

  1. Д(f)=R.
  2. E(f)=[−1;1].
  3. y=0 при x=, k∈Z; x=0 при y=1. Точки (;0), где k∈Z, - нули функции.
  4. Функция y=cos x - четная: cos(−x)=cos(x). График симметричен относительно оси ОУ.
  5. Функция y=cos x возрастает при x∈(−π+2πk;2πk), k∈Z, и убывает при x∈(2πk;π+2πk), k∈Z.
  6. Функция y=cos x имеет минимальные значения, равные −1,
    при x=π+2πk, k∈Z, и максимальные значения, равные 1,
    при x=2πk, k∈Z.
    (Ymax=1 при x=2πk; Ymin=−1 при x=π+2πk, k∈Z).
  7. Функция y=cos x ограничена: |cos x|≤1.
  8. Функция y=cos x - периодическая. Наименьший положительный период равен 2π, cos(x±2π)=cosx.
  9. График функции – косинусоида.

6.9.3) Свойства функции y=tg x

  1. Д(f)=R/{, k∈Z}.
  2. E(f)=R.
  3. y=0 при x=πk, k∈Z; x=0 при y=0. Точки (πk;0), где k∈Z, - нули функции.
  4. Функция y=tgx - нечетная: tg(−x)=−tg(x).
  5. Функция y=tgx возрастает в каждом из промежутков (−;) k∈Z.
  6. Экстремумов нет.
  7. Функция не ограничена.
  8. Функция y=tg x периодическая. Наименьший положительный период равен π, tg(x±π)=tg x.
  9. График функции – тангенсоида.

6.10) Обратные тригонометрические функции

6.10.1) Свойства функции y=arcsin x

  1. Д(f)=[−1;1].
  2. E(f)=[−;].
  3. arcsin x=0 при x=0.
  4. Функция y=arcsin x - нечетная: arcsin(−x)=−arcsin(x).
  5. Функция y=arcsin x возрастает на промежутке [−1;1].
  6. Функция y=arcsin x принимает свое наименьшее значение,
    равное −, при x=−1; наибольшее значение, равное , при x=1.
  7. Функция y=arcsin x ограничена, −≤arcsin x≤.
  8. Функция y=arcsin x не имеет периода.
  9. График функции:

6.10.2) Свойства функции y=arccos x

  1. Д(f)=[−1;1].
  2. E(f)=[0;π].
  3. arccos x=0 при x=1; x=0 при y=.
  4. Функция y=arccos x - общего вида.
  5. Функция y=arccos x убывает на промежутке [−1;1].
  6. Функция y=arccos x принимает наибольшее значение,
    равное π, при x=−1; наименьшее значение, равное 0, при x=1 .
  7. Функция y=arccos x ограничена, 0≤arccos x≤π.
  8. Функция y=arccos x не имеет периода.
  9. График функции: