3. Схема исследования функции

3.1) Область определения функции

Например:

а)

Выражение определено при всех действительных значениях х, кроме того значения, при котором знаменатель равен нулю, это значение х = -2.

Следовательно, или Д(f)=R/{-2}

б)

Выражение определено при тех х, для которых , то есть . Следовательно, .

3.2) Область значений функции

Например

Область значений функции найдем, составив новую функцию, в которой аргумент (х) заданной функции рассматривается как функция, а функция (у) – как аргумент; то есть нужно в заданной функциональной зависимости выразить х через у.

Например:

Находим функцию, обратную данной:

Выражение определено при всех действительных значениях у, кроме того значения, при котором знаменатель равен нулю, это значение , то есть

3.3) Точки пересечения графика функции с осями координат

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ОУ, нужно вычислить y=f(0)

Например:

y=5x+1; y(0)=1. Точка (0;1) – точка пересечения графика с осью ОУ.

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ОХ, нужно вычислить х, при котором f(x)=0.

Например:

. Тогда - точка пересечения с осью ОХ. Точки , в которых у = 0, называются нулями функции.

3.4) Четность и нечетность функции.

Функция y=f(x) называется четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство: f(-x)=f(x)

Например:

Имеем значит f(-x)=f(x) для всех х функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Например

Функция y=f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство: f(-x)=-f(x).

Например:

Имеем: , значит f(-x)=-f(x) для всех х функция нечетная.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например:

Если функция y=f(x) такая, что и , то функция не является ни четной, ни нечетной. Такая функция называется функцией общего вида.

3.5) Монотонность функции

Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке Х, если для любых x₁ и x₂ из Х таких, что x₁<x₂, выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂) .

Например:

Функция у=f(x) называется убывающей на промежутке Х, если для любых x₁ и x₂ из Х, таких что x₁<x₂, выполняется неравенство f(x₁)>f(x₂) .

3.6) Экстремумы функции

Пусть . Если для всех х из этого интервала, отличных от х₀, выполняется неравенство f(x)<f(x₀) , то при x=x₀ функция имеет максимум (max)

Например:

Если для всех х из этого интервала, отличных от х₀, выполняется неравенство f(x)>f(x₀) , то при x=x₀ функция имеет минимумум (min)

Например:

Монотонные функции не имеют экстремумов.

3.7) Ограниченность функции

Функция у=f(x) называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число М, что для всех х из множества Х выполняется неравенство .

Например: .

Если для любого числа М найдется такое , что , то функция у=f(x) называется неограниченной на Х.

Например: y=x³

3.8) Периодичность функции.

Функция у=f(x) называется периодической функцией с периодом Т, если выполняется равенство .

Например:

3.9) График функции.

Графиком функции у=f(x) называется множество точек координатной плоскости с координатами (х,f(x)), где .