VI. Определенный интеграл и его приложения.

Понятие определенного интеграла.

Пусть  - функция, непрерывная на интервале  и  - ее первообразная, то есть:  для .
Определение 1.  Определенным интегралом  от функции  на интервале  называется приращение ее первообразной: , где а – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования;  - интервал интегрирования;  - подынтегральная функция; х – переменная интегрирования.
Таким образом, определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Обозначим , тогда .
Это формула Ньютона-Лейбница.
Пример: Найти интеграл от х2  в пределах от 2 до 4.
Решение. Так как  - первообразная для , то 
Замечание: Мы получим тот же результат, если используем другую первообразную для , например,  или  и т.д.
Теорема: определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

 

Доказательство: Пусть  и  - две различные первообразные для функции , тогда по основному свойству первообразной имеем: =+С, где  С = const, отсюда
Теорема доказана.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на интервале  задана непрерывная функция
Определение 2. Геометрическая фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осью ОХ, слева и справа  и , называется криволинейной трапецией

 

Докажем, что площадь криволинейной трапеции  вычисляется по формуле ,
где  - первообразная для функции  на .
Рассмотрим часть криволинейной трапеции , которая находится левее точки . Площадь такой фигуры – это функция от х, обозначим ее , тогда ;
.
Приращение функции  в точке х  равно площади криволинейной трапеции : .
Для площади  выполняется двойное неравенство: .
Площади прямоугольников определяются формулами:
;  , поэтому ;
или при   .
По условию  - непрерывная функция ,
то есть ;  .
Переходим к пределу в последнем двойном неравенстве и получаем:
.
Следовательно, функция  - первообразная для функции : =.
Так как , =, то  и =.
Отсюда .
Определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

Основные свойства определенного интеграла

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Действительно, .
Замечание: Интеграл  называется интегралом с переменным верхним пределом.

Приложение определенного интеграла

Определенный интеграл применяется для вычисления площадей плоских фигур.
1) Пусть функция  непрерывна и положительна  на , тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции  .

2) Пусть функция  непрерывна и отрицательна на , тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции .
3) Пусть функция  непрерывна на  и принимает на этом интервале как положительные, так и отрицательные значения: .

 

4) Пусть площадь фигуры ограничена двумя прямыми  и  и двумя непрерывными функциями  и  на . Тогда .

Определенный интеграл применяется для вычисления объемов тел.
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой  и прямыми вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле   .

 

 

 

Задачи и упражнения

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

С помощью определенного интеграла

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  (рис.а).

  

Решение:

1. Вычислить  площадь фигуры, ограниченной линиями  (рис.б).

Решение:

.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис.в).

Построим графики функций и найдем абсциссы точек пересечения на системы:
Решение:

 

1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной  и прямыми  (рис.г).

Решение:

Упражнения:

1. Вычислите интегралы:

1.     2.     3.     4.
5. , подстановка
6. , подстановка

1. Вычислите площади, ограниченные линиями:

а).
б).
в).
г).

1. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями:

 

а).
б).