Основы математического анализа

V. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной функции.

Мы уже умеем находить для данной функции ее производную . Рассмотрим обратную задачу. По данной функции найти такую функцию , что её производная равна , т.е =.
Определение Функция называется первообразной для функции на интервале (а,в), если для всех х из этого интервала выполняется равенство: =.
Например:
1. Функция является первообразной для функции, т.к. .
2. Функция является первообразной для , т.к. .

Теорема. Если - первообразная функция на интервале (а,в) , то функция , С – const, также является первообразной для на (а;в).
Доказательство: Найдем производную функции : .
Из теоремы следует, что множество функций , где - одна из первообразных для функции , а С – произвольная постоянная, образует семейство первообразных для функции .

Неопределенный интеграл

Определение Множество всех первообразных функций для на интервале (а,в) называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом .
Знак - называется знаком интеграла; - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; переменная x– переменная интегрирования.
Нахождение первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции.
Например: 1. ; проверка
2. ; проверка .

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
.
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен , то есть: .
4. Неопределенный интеграл от суммы двух или нескольких интегрируемых функций равен сумме их интегралов:
.
5. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
.

Основные неопределенные интегралы

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирования

;
;

2. Метод замены переменной
Теорема. Пусть функция определена на (а;в), а х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если функция имеет первообразную, на (а;в) справедлива формула: .
Например:

3. Интегрирование по частям
Некоторые интегралы можно найти с помощью формулы интегрирования по частям:
, где ; - дифференцируемые на (а;в) функции.
Доказательство:
1. Найдем дифференциал произведения функций и .
.
2. Проинтегрируем это равенство:
;
, откуда следует: .